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《兩條異面直線所成的角》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、向量法求空間角求空間角的大小，是立體幾何的重點、難點，也是高考中的熱點。運用向量解決這類問題，可以把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量問題，從而求出角的大小。向量法的最大優(yōu)點是思路清晰，過程簡捷，可以不去直接做出角，從而降低了對空間想象能力和邏輯思維能力的要求。下面對用向量求空間角分類例說。一、兩條異面直線所成的角1、求角的方法：設(shè)兩條異面直線為L、L所成的角為。向量，分別的方向向量。因為兩條異面直線所成的角（0，]，所以cos>0。又因為向量，的夾角，<，>，cos<，>的值的符號不定，所以cos==2、例題例1、（09福建17）如圖，四邊形ABCD是邊長
2、為1的正方形，，，且MD=NB=1，E為BC的中點求異面直線NE與AM所成角的余弦值解析：如圖以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)依題意，得。，所以異面直線與所成角的余弦值為評析：此題中利用向量的坐標(biāo)法求出兩向量的夾角的余弦值為負值，但兩條異面直線所成的角的余弦值卻為正值。二、直線和平面所成的角1、求角的方法：直線與平面所成的角為，是直線的方向向量，是平面的一個法向量，則sin==說明：兩種情況都成立，所以在做題時無需考慮斜線的方向向量和平面的法向量的方向2、例題例2、(09遼寧18)（本小題滿分12分）如圖，己知兩個正方形ABCD和DCEF不在
3、同一平面內(nèi)，M，N分別為AB,DF的中點，若平面ABCD⊥平面DCEF求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；解：設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標(biāo)原點，分別以射線DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)直線MN與平面DCEF所成角為。則M(1，0，2)，N（0，1，0），可得，又為平面DCEF的法向量，可得所以sin==所以MN與平面DCEF所成的角的正弦值為.二、二面角的平面角1、求角的方法：方法一：根據(jù)二面角平面角的定義，（1）中向量與夾角的大小就是二面角平面角的大小。（2）中向量與夾角的大小也是二面
4、角平面角的大小因此在解題中只需在兩個半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的兩個向量，求它們的夾角即可。方法二：利用平面向量的法向量來解決在以上四種情況中（1）（4）兩種情況向量的夾角與二面角的平面角互補，（2）（3）兩種情況向量的夾角與二面角的平面角相等。在解題時判斷好法向量的方向，是以上四種中的哪一種，從而確定二面角的大小。不用判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角。（二面角的平面角是銳角還是鈍角，大部分看圖就能直接看出來）2、例題例3：（09山東18）（本小題滿分12分）如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,
5、BC=CD=2,AA=2,E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。EABCFE1A1B1C1D1D（1）證明：直線EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。（1）證明略（2）解：解法一過點做的垂線垂足為點，過點做的垂線垂足為點。則<，>的值即為二面角B-FC-C的平面角的值。因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,因為ABCD為等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)
6、系則F(，1，0)，B(,3,0),C(0,2,0),(0,2,2)=(,1,2)設(shè)==(-,,)則P(-,+1,),=(,2-,-2)=-3+2--4=0==(,,-)，=同理可得=（-，，-1），=,=1，cos<,>==所以二面角B-FC-C的余弦值為（不用判斷二面角是銳角還是鈍角，但此種方法需有二面角的棱）EABCFE1A1B1C1D1DxyzM解法二：因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,因為ABCD為等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB
7、,所以DM⊥CD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D（0,0,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,(0,2,2)所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,,,所以由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.（和屬于方二中四種情況中的第一種）
