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《兩條異面直線所成的角》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、向量法求空間角求空間角的大小,是立體幾何的重點、難點,也是高考中的熱點。運用向量解決這類問題,可以把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量問題,從而求出角的大小。向量法的最大優(yōu)點是思路清晰,過程簡捷,可以不去直接做出角,從而降低了對空間想象能力和邏輯思維能力的要求。下面對用向量求空間角分類例說。一、兩條異面直線所成的角1、求角的方法:設(shè)兩條異面直線為L、L所成的角為。向量,分別的方向向量。因為兩條異面直線所成的角(0,],所以cos>0。又因為向量,的夾角,<,>,cos<,>的值的符號不定,所以cos==2、例題例1、(09福建17)如圖,四邊形ABCD是邊長
2、為1的正方形,,,且MD=NB=1,E為BC的中點求異面直線NE與AM所成角的余弦值解析:如圖以D為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)依題意,得。,所以異面直線與所成角的余弦值為評析:此題中利用向量的坐標(biāo)法求出兩向量的夾角的余弦值為負值,但兩條異面直線所成的角的余弦值卻為正值。二、直線和平面所成的角1、求角的方法:直線與平面所成的角為,是直線的方向向量,是平面的一個法向量,則sin==說明:兩種情況都成立,所以在做題時無需考慮斜線的方向向量和平面的法向量的方向2、例題例2、(09遼寧18)(本小題滿分12分)如圖,己知兩個正方形ABCD和DCEF不在
3、同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點,若平面ABCD⊥平面DCEF求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值;解:設(shè)正方形ABCD,DCEF的邊長為2,以D為坐標(biāo)原點,分別以射線DC,DF,DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)直線MN與平面DCEF所成角為。則M(1,0,2),N(0,1,0),可得,又為平面DCEF的法向量,可得所以sin==所以MN與平面DCEF所成的角的正弦值為.二、二面角的平面角1、求角的方法:方法一:根據(jù)二面角平面角的定義,(1)中向量與夾角的大小就是二面角平面角的大小。(2)中向量與夾角的大小也是二面
4、角平面角的大小因此在解題中只需在兩個半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的兩個向量,求它們的夾角即可。方法二:利用平面向量的法向量來解決在以上四種情況中(1)(4)兩種情況向量的夾角與二面角的平面角互補,(2)(3)兩種情況向量的夾角與二面角的平面角相等。在解題時判斷好法向量的方向,是以上四種中的哪一種,從而確定二面角的大小。不用判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角。(二面角的平面角是銳角還是鈍角,大部分看圖就能直接看出來)2、例題例3:(09山東18)(本小題滿分12分)如圖,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=4,
5、BC=CD=2,AA=2,E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。EABCFE1A1B1C1D1D(1)證明:直線EE//平面FCC;(2)求二面角B-FC-C的余弦值。(1)證明略(2)解:解法一過點做的垂線垂足為點,過點做的垂線垂足為點。則<,>的值即為二面角B-FC-C的平面角的值。因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,因為ABCD為等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)
6、系則F(,1,0),B(,3,0),C(0,2,0),(0,2,2)=(,1,2)設(shè)==(-,,)則P(-,+1,),=(,2-,-2)=-3+2--4=0==(,,-),=同理可得=(-,,-1),=,=1,cos<,>==所以二面角B-FC-C的余弦值為(不用判斷二面角是銳角還是鈍角,但此種方法需有二面角的棱)EABCFE1A1B1C1D1DxyzM解法二:因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,因為ABCD為等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB
7、,所以DM⊥CD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),F(,1,0),C(0,2,0),(0,2,2)所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,,,所以由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.(和屬于方二中四種情況中的第一種)