中考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)之—圓和圓的位置關(guān)系

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1、中考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)之—圓和圓的位置關(guān)系一、教材簡析本單元主要研究圓和圓的位置關(guān)系，內(nèi)容主要包括兩個圓各種不同位置關(guān)系的概念；相交、相切兩圓的性質(zhì)以及兩個圓的公切線。其中兩個圓不同位置關(guān)系的概念及相交、相切時的性質(zhì)是本單元的重點。同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中要注意與前面所學(xué)的圓的有關(guān)知識的聯(lián)系。當(dāng)一條直線與兩個圓相切時，這條直線就是這兩個圓的公切線，而對于每一個圓來說，這條直線都是他們的切線。因此，研究兩圓的公切線問題，就是圓的切線的判定和性質(zhì)在兩個相關(guān)的圓中的應(yīng)用。由圓的軸對稱性可以推出，任意兩個圓組成的圖形，一定是以連心線為軸

2、的對稱圖形。兩圓相交、相切的性質(zhì)，都是由這個對稱性得到的。所以在學(xué)習(xí)這一單元時，要隨時復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)知識，并逐步學(xué)會運用這些知識來解決兩圓位置關(guān)系中的新問題。本單元學(xué)習(xí)過程中，涉及實際應(yīng)用的問題較多，有計算題，也有作圖題，要學(xué)會把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，在關(guān)于兩圓公切線長的計算中，要學(xué)會把它轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。二、基本內(nèi)容及應(yīng)注意的問題1、圓和圓的位置關(guān)系的分類，既考慮了數(shù)(兩圓公共點的個數(shù))，又考慮了形(兩圓的相對位置)，兩圓的五種位置關(guān)系按公共點的個數(shù)(0，1，2)可分為三類：(1)沒有公共點相離外離

3、內(nèi)含(包括同心)；(2)有1個公共點相切外切內(nèi)切；(3)有2個公共點相交2、與點和圓、直線和圓的位置關(guān)系相類似，兩圓的位置關(guān)系(形的關(guān)系)與兩圓的半徑、圓心距的大小(數(shù)量關(guān)系)有關(guān)。(1)兩圓外離d＞R＋r(2)兩圓外切d＝R＋r(3)兩圓相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)(4)兩圓內(nèi)切d＝R－r(R＞r)(5)兩圓內(nèi)含d＜R－r(R＞r)這個結(jié)論是雙向的，“”是由兩圓位置的關(guān)系，得到兩圓半徑與圓心距之間特定的數(shù)量關(guān)系，這是兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來解決；“”是根據(jù)兩圓半徑與圓心

4、距之間的某種數(shù)量關(guān)系來判定兩圓的位置關(guān)系，從而把判定形的問題，轉(zhuǎn)向為數(shù)的問題來解決。這在解決兩圓的位置關(guān)系的問題時特別方便。應(yīng)當(dāng)注意的是，判定兩圓相交時，必須具備R－r＜d＜R＋r的條件。這是因為只有當(dāng)d＞R－r時，兩圓可能相交、外切或外離；而當(dāng)d＜R＋r時，兩圓可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含。因此，只有當(dāng)R－r＜d＜R＋r時才能判定兩圓相交。3、兩圓的五種位置關(guān)系中，重點討論了兩圓相交、相切的性質(zhì)，在解決兩圓的相交問題時，如圖(1)，常添連心線、公共弦等輔助線，這樣，兩圓半徑、圓心距、公共弦長的一半就集中到了中，可以利用

5、三角形有關(guān)知識加以解決。4、求兩圓的內(nèi)、外公切線長的問題，都是利用直線和圓相切的性質(zhì)，通過作出過切點的半徑，把問題轉(zhuǎn)化為解一個直角三角形。在圖(2)、圖(3)中，o1o2＝d，⊙o1半徑為R，⊙o2的半徑為r，則在中：圖(2)：圖(3)：當(dāng)兩圓外切時，d＝R＋r，此時外公切線長＝5、當(dāng)兩圓相交、外切、外離時，總有兩條外公切線，且這兩條外公切線長相等。如果兩圓相等，那么兩條外公切線平行；如果兩圓不等，那么兩條外公切線相交，且交點在兩圓的連心線上。當(dāng)兩圓相切時，常作兩圓的公切線為輔助線。三、例題例1、已知兩圓的半徑R

6、，r(R≥r)是方程的兩個根，兩圓的圓心距為d，(1)若d＝4，試判定兩圓的位置關(guān)系；(2)若d＝2，試判定兩圓的位置關(guān)系；(3)若兩圓相交，試確定d的取值范圍；(4)若兩圓相切，求d的值。解：∵R，r是方程的兩根∴R＋r＝3，R·r＝1則，(1)∵d＝4∴d＞R＋r，則兩圓外離；(2)∵d＝2∴d＜R－r，則兩圓內(nèi)含；(3)∵兩圓相交∴R－r＜d＜R＋r，即：＜d＜3(4)∵兩圓相切∴d＝R＋r或d＝R－r，即：d＝3或d＝注意：兩圓相切有兩種可能(內(nèi)切或外切)例2：如圖(4)，⊙o1與⊙o2相交于A、B，直線

7、Ao1交⊙o1于C，交⊙o2于D，CB的延長線交⊙o2于E，若CD＝10，DE＝6，求⊙o2的長。解：連結(jié)AB、AEAC為⊙o1的直徑ABCD內(nèi)接于⊙o2AE為⊙o2的直徑o2為AE中點o1為AC中點在中，CD＝10，DE＝6注意：兩圓相交時，常添公共弦、連心線等作為輔助線，這些輔助線能把兩圓中的角或線段聯(lián)系起來，起到“橋梁”作用。例3：如圖(5)，⊙o1與⊙o2相交于A、B，CE切⊙o1于C，交⊙o2于D、E求證：分析：因，所以只需證，聯(lián)想到兩圓相交時常添的輔助線，再運用弦切角定理及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，問題易得證

8、。證：連結(jié)ABCD切⊙o1于CBEDA內(nèi)接于⊙o2注意：如果⊙o1的切線CE與⊙o2也相切于E(D、E重合)，則成立嗎？例4：如圖(6)，⊙o1與⊙o2內(nèi)切于A，過A作大圓的弦AD、AE分別交小圓于B、C。求證：分析：要證，只需證，即要證BC∥DE；證明：過點A作⊙o1與⊙o2的公切線AT，則：∵∴BC∥DE∴，即：例5：如圖(7)，⊙o1與⊙o2外切于A，BC分別切⊙o