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《若干數(shù)值積分的計算方法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、若干數(shù)值積分的計算方法黃海瓊（廣西民族大學數(shù)計學院04數(shù)本1班南寧530006）摘要:本文討論了若干數(shù)值積分的計算方法。在一維情形下，介紹了Newton-Cotes公式，Gauss型等求積法則；在二維情形下,主要介紹了二元Newton-Cotes積分方法。最后，對幾類數(shù)值積分方法及其數(shù)值實驗進行比較評述。關鍵詞:牛頓-柯特斯公式；Gauss型求積法則；二元數(shù)值積分；數(shù)值實驗SomeComputationalMethodsofnumericalintegrationHuangHaiqiong(CollegeofMathematicsan
2、dComputerScience,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006)Abstract:Inthispaper,somecomputationalmethodsaboutnumericalintegrationarediscussed.undertheunivariatesituation,thequadratureruleofNewton-Cotesformula,Gaussformulaandsoonisintroduced.Underthetwo-dimensional
3、situation,itmainlyintroducedthedualNewton-Cotesintegralmethod.Finally,thenumericalintegrationmethodsandnumericalexperimentwerediscussed.Keyword:Newton-Cotesformula;Gaussintegrationprinciple;dualnumericalintegration;numericalexperiment.1引言數(shù)值積分是積分計算的重要方法，是數(shù)值逼近的重要內(nèi)容，是函數(shù)插值的
4、最直接應用，也是工程技術計算中常常遇到的一個問題。在應用上，人們常要求算出具體數(shù)值，因此數(shù)值積分就成了數(shù)值分析的一個重要內(nèi)容。在更為復雜的計算問題中，數(shù)值積分也常常是一個基本組成部分。在微積分理論中，我們知道了牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式其中是被積函數(shù)的某個原函數(shù)。但是隨著學習的深入，我們發(fā)現(xiàn)一個問題:對很多實際問題，上述公式卻無能為力。這主要是因為:它們或是被積函數(shù)沒有解析形式的原函數(shù),或是只知道被積函數(shù)在一些點上的值,而不知道函數(shù)的形式,對此,牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式就無能為力了。此
5、外,即使被積函數(shù)存在原函數(shù),但因找原函數(shù)很復雜,人們也不愿花費太多的時間在求原函數(shù)上,這些都促使人們尋找定積分近似計算方法的研究,特別是有了計算機后,人們希望這種定積分近似計算方法能在計算機上實現(xiàn),并保證計算結果的精度,具有這種特性的定積分近似計算方法稱為數(shù)值積分。152一維數(shù)值積分的計算方法2.1一維數(shù)值積分方法的基本思想對于一維數(shù)值積分法的思想來源于定積分的定義，即其中，一般的提法是:對于給定的權函數(shù)，用在點處的函數(shù)值的線性組合作為積分的近似值，即(2.1)并稱此為求積公式，稱為求積公式(2.1)的余項或誤差，及分別稱為求積公式(
6、2.1)的求積節(jié)點及求積系數(shù)，這里求積系數(shù)只與權函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與無關。為保證機械求積公式的精度,自然希望它對盡可能多的簡單函數(shù)是準確的，即要求它對一切次多項式是準確的,而對次多項式不一定準確。則得到關于系數(shù)的階線性方程組：由于系數(shù)行列式為Vandermonde行列式,不為零,則解是唯一存在的。定義2.1.1如果當時，求積公式(2.1)精確成立，而當時，求積公式(2.1)不精確成立，那么稱求積公式(2.1)具有次代數(shù)精度。定理2.1.1任意給定個節(jié)點，如果是次數(shù)不超過的多項式，那么一定15存在常數(shù)，使求積公式(2.1)精確成立，
7、即.證明設是關于節(jié)點，的次Lagrange插值多項式,即其中是Lagrange基函數(shù)，，是Lagrange插值余項。于是不妨令(2.2)則有因為是次數(shù)不超過的多項式，所以，這意味著，于是，從而.這個定理告訴我們，具有一定代數(shù)精度的求積公式是存在的。定理2.1.2形如(2.1)的求積公式的代數(shù)精度的充要條件是:它是插值型求積公式。證明充分性上面已證.現(xiàn)在來證必要性.設求積公式(2.3)的代數(shù)精度.因為Lagrange基函數(shù),所以故求積公式(2.3)是插值型求積公式。定義2.1.2如果屬于區(qū)間，那么稱15為內(nèi)插型求積公式，其中求積系數(shù)由(
8、2.2)決定。2.2幾種常用數(shù)值積分方法2.2.1插值型求積公式在上,用以為節(jié)點的次Lagrange插值多項式作為的逼近函數(shù),即可得到插值型求積公式:即其中.插值型積分公式具有次代數(shù)精度,且時公式是穩(wěn)定的。2.2.2一元
