矩陣初等變換及其應(yīng)用

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1、學(xué)號：哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文題目矩陣初等變換及其應(yīng)用學(xué)生焦陽指導(dǎo)教師林立軍副教授年級2008級專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)系學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2012年4月25日哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報告論文題目矩陣初等變換及其應(yīng)用學(xué)生姓名焦陽指導(dǎo)教師林立軍副教授年級2008級專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2011年11月25日課題來源：矩陣初等變換及其應(yīng)用課題研究的目的和意義：由于矩陣的初等變換貫穿著代數(shù)學(xué)習(xí)的始終，那么掌握好矩陣的初等變換對我們學(xué)習(xí)好高等代數(shù)有很大幫助。本文對初等變換的應(yīng)用做了總結(jié)，使讀者能夠系統(tǒng)地了解初等變

2、換在不同地方的應(yīng)用。方便讀者日后學(xué)習(xí)中使用初等變換解題。很多復(fù)雜、繁瑣的問題經(jīng)過初等變換都可以化為簡單、易于解決的問題。所以對于矩陣的初等變換的研究具有非常重要的意義。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢：課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：本文主要探究矩陣的初等變換在高等代數(shù)、線性代數(shù)中的應(yīng)用?？偨Y(jié)了矩陣的初等變換的一些基本概念和重要結(jié)論，然后根據(jù)這些概念和結(jié)論，把矩陣的初等變換的方法應(yīng)用到解決各類問題當(dāng)中。并把初等變換應(yīng)用的具體方法提煉出來，方便日后解題使用。在研究過程中，方法的總結(jié)是最

3、主要的內(nèi)容，也是研究的目的。經(jīng)過對大量習(xí)題的研究、比對，對參考文獻的研究，最后將初等變換在具體問題中的具體方法用最簡潔、直觀的方式總結(jié)出來。課題研究起止時間和進度安排：起止時間：2011年11月25日至2012年4月25日。進度安排：1、2011年11月25日定題2、2011年11月26-12月1日擬定大綱3、2011年12月2日-12月31日資料查詢，寫好開題報告。4、2012年1月1日-2月1日理論分析。5、2012年2月2日到4月1日形成初稿，并修改論文。6、2012年4月2日到4月25日定稿及準(zhǔn)備答辯

4、。課題研究所需主要設(shè)備、儀器及藥品：無外出調(diào)研主要單位，訪問學(xué)者姓名：無指導(dǎo)教師審查意見：同意開題。指導(dǎo)教師（簽字）　　　　年月教研室（研究室）評審意見：同意開題。____________教研室（研究室）主任（簽字）　　　　年月院（系）審查意見：同意開題。____________院（系）主任（簽字）　　　　年月學(xué)士學(xué)位論文題目矩陣初等變換及其應(yīng)用學(xué)生焦陽指導(dǎo)教師林立軍副教授年級2008級專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)系學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2012年4月25日矩陣初等變換及其應(yīng)用焦陽摘要：初等變換是高等代數(shù)和線性代數(shù)學(xué)

5、習(xí)過程中非常重要的，使用非常廣泛的一種工具。本文列舉了矩陣初等變換的幾種應(yīng)用，包括求矩陣的秩、判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣、判斷線性方程組解的狀況、求解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系、證向量的線性相關(guān)性及求向量的極大無關(guān)組、求向量空間兩個基的過渡矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。并用具體例子說明矩陣初等變換在以上幾種應(yīng)用中是如何運用的。關(guān)鍵詞：矩陣初等變換初等矩陣在代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我發(fā)現(xiàn)矩陣的初等變換有許多應(yīng)用，幾乎貫穿著始終。本文將對矩陣的初等變換進行介紹并以具體例子說明矩陣初等變換的七種應(yīng)用。雖然這些計算格式有不少類

6、似之處，但是也指出由于這些計算格式有不同的原理，所以它們的應(yīng)用也有一些明顯的區(qū)別。定義1：矩陣的行（列）初等變換是指對一個矩陣施行的下列變換：（1）交換矩陣的兩行（列）(交換第i，j兩行（列），記作）；（2）用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）即用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素（用數(shù)k乘以第i行（列），記作；（3）用某一個數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素再加到另一行（列）的對應(yīng)元素上(第i行（列）k倍加到第j行（列），記作。初等行、列變換

7、統(tǒng)稱為初等變換。定義2：對單位矩陣I僅施以一次初等變換后得到的矩陣稱為相應(yīng)的初等矩陣，分別記為第1、2、3類行（列）初等矩陣為，，，有======初等變換與初等矩陣之間有下列基本性質(zhì)。定理1：對mn矩陣A，作一次初等行（列）變換所得的矩陣B，等于以一個相應(yīng)的m階（n階）初等矩陣左（右）乘A。下面將介紹幾種實用初等變換的方法。由于側(cè)重實際應(yīng)用方面，在表述方面著重講清基本概念、原理和計算方法，避免繁瑣、冗長的理論推導(dǎo)和證明，力求簡明準(zhǔn)確；將抽象的理論，從具體問題入手，通過典型例題對基本概念、所涉及的方法進行融會貫

8、通。1、求矩陣的秩由于初等變換不改變矩陣的秩，如果我們要求一個矩陣的秩，可以先利用行初等變換將其化為行階梯形矩陣。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。這樣我們就可以求出原矩陣的秩。定義1：在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的個元素，不改變它們在A中所處的位置次序二而得到的k階行列式，稱為A的k階子式。定義2：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩