論文：剛體的平面運(yùn)動

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1、河海大學(xué)課程論文剛體的平面運(yùn)動姓名：專業(yè)：學(xué)號：摘要本論文主要從剛體的平面運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行研究說明，同時(shí)捎帶提了一下能量的問題。在運(yùn)動學(xué)方面，分位移（空間位置），速度，加速度進(jìn)行講述，其中以相對基點(diǎn)速度，加速度的推導(dǎo)為重點(diǎn)。在動力學(xué)中講述里剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)方程，同時(shí)為了簡化剛體平面運(yùn)動的分析，引入力偶和力偶矩的概念。然后是簡潔的給出了剛體平面運(yùn)動的動能表達(dá)式和動能定理。接著本論文以滾子的滾動這一簡單的剛體平面運(yùn)動形式給出了實(shí)例的運(yùn)用?！皾L動動摩擦力偶矩”，“汽車運(yùn)動時(shí)輪的受力和汽車的極限速度”（驅(qū)動力的產(chǎn)生）這都是比較接近現(xiàn)實(shí)生活的。雖然本文在這兩方面的論述比較粗糙

2、，但就分析剛體的平面運(yùn)動和理解滾動摩擦卻是很有意義的。雖然能量不是本文的重點(diǎn)，但作者認(rèn)為這卻是很重要的思想方法，是一種物理修養(yǎng)。所以在實(shí)例分析中給出力一道常見的大學(xué)物理題的分析討論。相信這一似乎離題的討論能給我們一些啟示。正文平面平行運(yùn)動是指剛體在運(yùn)動時(shí)，其上各點(diǎn)離某固定平面的距離始終保持不變。也就是說，剛體內(nèi)任一點(diǎn)始終在與固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動。（一）剛體平面運(yùn)動方程xSy圖（1）取剛體內(nèi)一點(diǎn)A作為基點(diǎn)，設(shè)過A點(diǎn)且平行于剛體運(yùn)功的平面的平面截剛體為S(如圖1)。在S內(nèi)作射線AB（如圖2）。剛體內(nèi)各點(diǎn)相對射線AB的位置是固定的，只需確定AB就可以確定剛體內(nèi)所有的點(diǎn)。AB可

3、由A地坐標(biāo)()及AB與x軸的夾角來確定。1.位移當(dāng)S運(yùn)動時(shí)，時(shí)t的單值連續(xù)函數(shù)（1）這就是剛體平面運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程從而得剛體的平面運(yùn)動可分解為隨基點(diǎn)A的移動和繞A的轉(zhuǎn)動。-8-河海大學(xué)課程論文說明：轉(zhuǎn)角與基點(diǎn)地選擇無關(guān)AB圖（3）SAB圖（2）如圖（3），AB是S中任意一直線，在A,B分別建立移動的坐標(biāo)系和，當(dāng)S運(yùn)動時(shí)AB與兩移動坐標(biāo)系的夾角是相同的，可以推斷：在同一瞬時(shí)，圖形繞任一基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動不但轉(zhuǎn)角是相同的，而且角速度，角加速度也各相同。2.速度S內(nèi)任意二點(diǎn)A,B。設(shè)A為基點(diǎn)兩邊同時(shí)對t求導(dǎo)其中所以（2）B點(diǎn)的速度為基點(diǎn)A的速度和B相對

4、A的速度兩矢量和。3.加速度兩邊同時(shí)對t求二階導(dǎo)-8-河海大學(xué)課程論文所以（3）B點(diǎn)的加速度為基點(diǎn)A的加速度和B相對A轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。（二）剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)1.動力學(xué)方程如圖（4），在O系中對剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理（4）得投影式在從C系研究剛體繞軸的角動量Cyx圖（4）表示作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對C點(diǎn)外力矩的矢量和。此外所有質(zhì)點(diǎn)受慣性力再考慮到諸質(zhì)點(diǎn)所受慣性力矩其中慣性力矩可寫為右方的為質(zhì)心系中質(zhì)心的位置矢量，當(dāng)然為零。所以運(yùn)用于剛體，剛體對軸角動量對時(shí)間的變化率即所以（5）即作用于剛體各力對質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積，叫做剛體

5、對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定理。（4）（5）兩式合起來給出了剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程。剛體的力學(xué)特征-8-河海大學(xué)課程論文根據(jù)（4）式作用于剛體上的力使質(zhì)心加速運(yùn)動，根據(jù)（5）式它對質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度。因此作用與剛體的力有兩種力學(xué)效應(yīng)。從而在分析剛體的平面運(yùn)動時(shí)可以從等效出力的這兩種效果出發(fā)使問題變得清晰簡單。CFCF圖（5）2.力偶和力偶矩大小相等方向相反彼此平行的一對力叫力偶。因其矢量和為零，故對質(zhì)心運(yùn)動無影響。二力對質(zhì)心軸力矩之和為力矩大小等于力偶中一力與力偶臂乘積而方向與力偶中而力成右受螺旋者稱作該力偶的力偶矩。因此我們可以用力偶矩來表示剛體收到的轉(zhuǎn)動作用，而不對質(zhì)心

6、產(chǎn)生影響。考慮到作用于剛體的力的兩種效果和力偶矩的概念，如圖（5），作用于剛體的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶矩，這力的大小和方向與原力相同，而力偶矩等于原力對質(zhì)心軸的力矩。（三）剛體平面運(yùn)動的動能按克尼希定理式可得剛體平面運(yùn)動動能等于隨質(zhì)心平動動能和剛體相對質(zhì)心系的動能的和根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動能定理，質(zhì)點(diǎn)系動能增量等于一切內(nèi)力和外力做功的代數(shù)和。對剛體來說，內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，故對于剛體的平面運(yùn)動，動能定理為★實(shí)例分析在水平面上滾動的圓柱形的滾子的運(yùn)動是典型和常見的剛體平面運(yùn)動的實(shí)例，但同時(shí)卻有重要意義。1.滾動摩擦力偶矩滾動體放在支持面上，滾動體和支持面都會發(fā)生形變。當(dāng)滾動

7、體靜止時(shí)形變對稱如圖（6），當(dāng)滾動體滾動時(shí)，如圖（7），后邊的形變略低于前方，前面的支撐面凸起，形變不對稱，支撐面對滾動體的作用力前移，作用力為，力分解為豎直分力和水平分力，近似與公切面垂直可看做彈性支持力；力近似與公切面平行，可看做靜摩擦力。它們的效果為作用于O的力-8-河海大學(xué)課程論文和附加力偶矩。附加力偶矩起阻礙滾動體滾動的作用，稱滾動摩擦力偶矩，大小記作用表示原來力與O的垂直距離，則OWOWM滾圖（6）OW圖（7）圖（8）可見滾動摩擦力偶矩與滾動體和支撐面間的正壓力成正比，比例系數(shù)為