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《圓中常見的輔助線的作法分類大全》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1．?遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。或者連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點。作用：1、利用垂徑定理；2、利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形；5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，ＡＢ是⊙O的直徑,PO⊥AB交⊙O于P點，弦PN與AB相交于點M，求證：PM?PN=2PO2.分析：要證明PM?PN=2PO2，即證明PM?PC=PO2，過O點作
2、OC⊥PN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理NC=PC，只需證明PM?PC=PO2，要證明PM?PC=PO2只需證明Rt△POC∽Rt△PMO.證明:過圓心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴即∴PO2=PM?PC.∴PO2=PM?PN，∴PM?PN=2PO2.【例1】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面積。【例2】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一個動點，那么OP的長的取值范圍是_________．【例3】如圖，弦
3、AB的長等于⊙O的半徑，點C在弧AMB上，則∠C的度數(shù)是________.第5頁共5頁2．?遇到有直徑時常常添加（畫）直徑所對的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點O為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．（1）求證：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點，當AC=3時，求AB的值．分析：要證BA·BM=BC·BN，需證△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有個直角，而BN是圓O的直徑，所以連結(jié)MN可得∠BMN=90°。MNOCA
4、（1）證明：連結(jié)MN，則∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB∽△NMB∴∴AB·BM=BC·BN（2）解：連結(jié)OM，則∠OMC=90°∵N為OC中點B∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，弦BC=2,∠B=3．?遇到90°的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是⊙O的的兩條弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半徑是5．?遇到有切線時（1）常常添加過
5、切點的半徑（連結(jié)圓心和切點）（2）常常添加連結(jié)圓上一點和切點作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。第5頁共5頁【例6】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB的延長線于D，求證：AC=CD．?6．?遇到證明某一直線是圓的切線時切線判定分兩種：公共點未知作垂線、公共點已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判定一條直線是否是切線，應同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑
6、，所以,在證明直線是切線時,往往需要通過作恰當?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1．無點作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求證：DC是⊙O的切線.分析：DC與⊙O沒有交點，“無點作垂線”，過圓心O作OE⊥DC，只需證OE等于圓的半徑.因為AO為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需證明△DEO≌△DAO證明：作OE⊥DC于E點，取DC的中
7、點F，連結(jié)OF.又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF為梯形的中位線.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分線.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圓的半徑.∴DC是⊙O的切線.2．有點連圓心.當直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：CD是⊙O的切線.分析：D在⊙O上，有點連圓心，連結(jié)DO，證明DO⊥DC即可.證明：連結(jié)DO，
8、∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，
