.離散序列的相關函數(shù)

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1、6.2離散序列的相關函數(shù)第6章功率譜估計?離散隨機序列的特征描述?平穩(wěn)隨機序列通過LTI系統(tǒng)?經(jīng)典功率譜估計?現(xiàn)代功率譜估計6.1離散隨機序列的特征描述?隨機過程的分布函數(shù)?隨機信號的數(shù)字特征?平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機信號的時域描述?平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機信號的頻域描述（功率譜密度）一、隨機過程的分布函數(shù){X[k],k?Z}表示一個隨機過程一維分布函數(shù)F(x,k)?P(X[k]?x)二維分布函數(shù)F(x1,x2;k1,k2)?P(X[k1]?x1,X[k2]?x2)N維分布函數(shù)F(x1,x2,?,xN;k1,k2,?kN)?P(X[

2、k1]?x1,?X[kN]?xN)二、隨機信號的數(shù)字特征均值mx[k]?E{X[k]}方差?2k]?E{(X[k]?m222x[x[k])}?E{X[k]}?mx[k]自相關函數(shù)Rx[k1,k2]?E{X[k1]X[k2]}互相關函數(shù)Rxy[k1,k2]?E{X[k1]Y[k2]}三、平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機信號的時域描述1平穩(wěn)隨機序列指統(tǒng)計特性不隨時間的平移而變化的那一類隨機序列嚴平穩(wěn)隨機序列：F(x1,x2,?,xN;k1,k2,?kN)?F(x1,x2,?,xN;k1?n,k2?n,?kN?n)寬平穩(wěn)隨機序列：E{X[

3、k]}?mxE{X[k]X[k?n]}?Rx[n]平穩(wěn)隨機信號自相關函數(shù)特性（1）對稱性Rx[n]?Rx[?n]R*x[n]?Rx[?n]（2）極限值n?0R2x[0]?E{X[k]}n??Rx[?]?m2x（3）不等式Rx[0]?Rx[n]2.各態(tài)遍歷隨機信號集平均等于時間平均Nmx?E{X[k]}?lim1x[k]N??2N?1?k??N?2x?E{[X[k]?m1Nx]2}?lim[x[k]?m2N??2N?1?x]k??NR1Nx[n]??E{X[k]X[k?n]}?lim?x[k]x[k?n]N??2N?1

4、k??N四、平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機信號的頻域描述功率譜密度Px(?)?limE[1)2]N??2N?1FX(?,N維納——辛欽公式?Px(?)??Rx(n)e?j?nn???Rn)?1?ej?nx(2????Px(?)d?當自相關函數(shù)絕對可積時，平穩(wěn)隨機信號的自相關函數(shù)和功率譜密度是一對傅里葉變換對。6.2平穩(wěn)隨機序列通過LTI離散時間系統(tǒng)?輸出序列的均值?輸出序列的自相關函數(shù)?輸出序列的功率譜?輸入/輸出序列的互相關函數(shù)及互功率譜平穩(wěn)隨機序列通過LTI系統(tǒng)一、輸出序列的均值my[k]?E{y[k]}??nh[n]E{x[

5、k?n]}?mx?h[n]nH(ej0)j0my[k]?mxH(e)二、輸出序列的自相關函數(shù)Ry[n]?Rh[n]?Rx[n]Ry[n]是系統(tǒng)單位脈沖響應h[k]的自相關函數(shù)Rh[n]與輸入隨機序列X[k]的自相關函數(shù)Rx[n]的卷積.系統(tǒng)單位脈沖響應h[k]是確定信號，其自相關函數(shù)定義為?DTFT{Rh[n]}?DTFT{Rx[n]}三、輸出序列的功率譜Py(?)?DTFT{Ry[n]}?DTFT{Rh[n]?Rx[n]}(?)四、輸入/輸出序列的互相關函數(shù)及互功率譜互相關Ryx[n]?E{Y[k]X[k?n]}?

6、h[?n]?Rx[n]Rxy[n]?E{x[k]y[n?k]}?h[n]*Rx[n]互功率譜Pxy(?)?DTFT{Rxy[n]}?H(ej?)Px(?)PDTFT{Rej?yx(?)?yx[n]}?H*()Px(?)[例]一離散時間平穩(wěn)白噪聲通過一階IIR數(shù)字濾波器y[k]?x[k]??y[k?1]??1求輸出的自相關函數(shù)、平均功率和功率譜。零均值白噪聲的特征E{X[k]}?0P(?)??2Rn]?1π2jn?2x[2π???πedΩ???[n]解：H(z)?11?az?1z?ah[k]??ku[k]H(ej?)?

7、11??e?j?H(ej?)2?11?2?cos???2（1）計算輸出的自相關函數(shù)n???kn?k????n?0??Rh[k]h[k?n]??2?k?01??h[n]????nk????kn?k??n?0?????k??n1??2n??1??22?2?nRy[n]?Rh[n]?Rx[n]??Rh[n]?1??2（2）輸出平均功率lim1Ny2[k]?RN??2N?1?y[0]??2k??N1??2（3）輸出功率譜P2y(?)?H(ej?)Px(?)??21?2?cos???26.3經(jīng)典功率譜估計?譜估計的質量?相關法

8、(間接法)?周期圖法(直接法)?周期圖法的改進?利用MATLAB實現(xiàn)功率譜估計一、譜估計的質量1．估計量的偏差bia{??}?E{??}??2．估計量的方差var{??}?E{(???E{??})2}若bia{??}?0,limvar{??}?0,則稱??為?的一致估計N??3．估計量的均方差MSE{??}?E{(????)2}?var{??}