五個有趣的拓撲變換問題

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1、五個有趣的拓撲變換問題????如果你喜歡那個空間想象能力挑戰(zhàn)，你一定會喜歡V.V.Prasolov的IntuitiveTopology一書。書中的第一章有五個非常經(jīng)典的“拓撲變換”類謎題，在此與大家分享。注意游戲規(guī)則：我們假設(shè)所有物體都是用橡膠做成的，可以隨意地拉伸、擠壓、彎曲，但不允許切斷、粘連等任何改變圖形本質(zhì)結(jié)構(gòu)的操作。????1.能否把左圖連續(xù)地變形為右圖？???????????2.能否把左圖連續(xù)地變形為右圖？???????????3.左圖所示的立體圖形表面畫有一個圓。能否通過連續(xù)變換，把這個圓變到右圖所示的位置？???????????4.在一個輪胎的表面上打一個

2、洞。能否通過連續(xù)變換，把這個輪胎的內(nèi)表面翻到外面來？???????????5.能否把左圖連續(xù)地變形為右圖？???????????????????????1.能否把左圖連續(xù)地變?yōu)橛覉D？???????????答案是可以的，如下圖所示：???????????這意味著，假如人類的身體可以像橡膠人一樣任意變形，那么用兩手的拇指和食指做成兩個套著的圓環(huán)之后，我們可以不放開手指，把圓環(huán)給解開來。AlgorithmicandComputerMethodsforThree-Manifolds一書里畫了一張非常漂亮的示意圖：???????????更加有趣的是，如果僅僅是手腕上多了一塊手表，上

3、述方案就不能得逞了：???????????2.能否把左圖連續(xù)地變?yōu)橛覉D？???????????答案是可以的，如下圖所示：???????????3.左圖所示的立體圖形表面畫有一個圓。能否通過連續(xù)變換，把這個圓變到右圖所示的位置？???????????答案是可以的，如下圖所示：???????????4.在一個輪胎的表面上打一個洞。能否通過連續(xù)變換，把這個輪胎的內(nèi)表面翻到外面來？???????????答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續(xù)變換?？梢钥吹剑粋€表面有洞的輪胎本質(zhì)上等于兩個粘在一起的紙圈！不過，注意紙圈1和紙圈2的地位不太一樣：一個是白色的面（即最初輪胎的內(nèi)表面）

4、沖外，一個是陰影面（即最初輪胎的外表面）沖外。現(xiàn)在，把紙圈2當成原來的紙圈1，把紙圈1當成原來的紙圈2，倒著把它們變回輪胎形，輪胎的內(nèi)外表面也就顛倒過來了。???????????有趣的是，把輪胎的內(nèi)表面翻出來之后，輪胎上的“經(jīng)線”和“緯線”（姑且這么叫吧）也將會顛倒過來：???????????Wikipedia上有一個巨帥無比的動畫，直接展示出了把一個圓環(huán)面的內(nèi)表面翻到外面來的過程。此動畫看著非常上癮，小心一看就是10分鐘！???????????5.能否把左圖連續(xù)地變?yōu)橛覉D？???????????答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續(xù)變換，于是就變成了問題1中的圖(a)

5、。再利用問題1的辦法，即可變出我們想要的形狀來。??????附：空間想象能力挑戰(zhàn)：把左圖連續(xù)地變換為右圖????為了說明“同痕”這一概念直觀上并不容易把握，《TheKnotBook》一書中舉了一個經(jīng)典的例子。如下圖，左圖是一個有三個洞的立體圖形，右圖是被挖出了三條通道的立方體（但其中一個通道在另一個通道上纏繞了一圈）。令人難以置信的是，兩者之間竟然是同痕的，換句話說前者可以連續(xù)地變形成為后者。你能想象出這個變換過程嗎？??????????下面是其中一種想象的方法（選中顯示）：從右圖出發(fā)，讓左起第一個通道的兩頭靠在第二個通道上，并在第二個通道上滑動。把上面的那頭沿著第二個通

6、道滑到底面，把下面的那頭沿著第二個通道滑到頂面，你會發(fā)現(xiàn)此時立方體內(nèi)的通道不再打結(jié)了。接下來，把通道都拉直，把整個立方體拍扁了捏一捏，很容易就變成左圖了。