五個(gè)有趣的拓?fù)渥儞Q問(wèn)題

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1、五個(gè)有趣的拓?fù)渥儞Q問(wèn)題????如果你喜歡那個(gè)空間想象能力挑戰(zhàn)，你一定會(huì)喜歡V.V.Prasolov的IntuitiveTopology一書(shū)。書(shū)中的第一章有五個(gè)非常經(jīng)典的“拓?fù)渥儞Q”類(lèi)謎題，在此與大家分享。注意游戲規(guī)則：我們假設(shè)所有物體都是用橡膠做成的，可以隨意地拉伸、擠壓、彎曲，但不允許切斷、粘連等任何改變圖形本質(zhì)結(jié)構(gòu)的操作。????1.能否把左圖連續(xù)地變形為右圖？???????????2.能否把左圖連續(xù)地變形為右圖？???????????3.左圖所示的立體圖形表面畫(huà)有一個(gè)圓。能否通過(guò)連續(xù)變換，把這個(gè)圓變到右圖所示的位置？????????

2、???4.在一個(gè)輪胎的表面上打一個(gè)洞。能否通過(guò)連續(xù)變換，把這個(gè)輪胎的內(nèi)表面翻到外面來(lái)？???????????5.能否把左圖連續(xù)地變形為右圖？???????????????????????1.能否把左圖連續(xù)地變?yōu)橛覉D？???????????答案是可以的，如下圖所示：???????????這意味著，假如人類(lèi)的身體可以像橡膠人一樣任意變形，那么用兩手的拇指和食指做成兩個(gè)套著的圓環(huán)之后，我們可以不放開(kāi)手指，把圓環(huán)給解開(kāi)來(lái)。AlgorithmicandComputerMethodsforThree-Manifolds一書(shū)里畫(huà)了一張非常漂亮的示意圖：

3、???????????更加有趣的是，如果僅僅是手腕上多了一塊手表，上述方案就不能得逞了：???????????2.能否把左圖連續(xù)地變?yōu)橛覉D？???????????答案是可以的，如下圖所示：???????????3.左圖所示的立體圖形表面畫(huà)有一個(gè)圓。能否通過(guò)連續(xù)變換，把這個(gè)圓變到右圖所示的位置？???????????答案是可以的，如下圖所示：???????????4.在一個(gè)輪胎的表面上打一個(gè)洞。能否通過(guò)連續(xù)變換，把這個(gè)輪胎的內(nèi)表面翻到外面來(lái)？???????????答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續(xù)變換?？梢钥吹?，一個(gè)表面有洞的輪胎本質(zhì)

4、上等于兩個(gè)粘在一起的紙圈！不過(guò)，注意紙圈1和紙圈2的地位不太一樣：一個(gè)是白色的面（即最初輪胎的內(nèi)表面）沖外，一個(gè)是陰影面（即最初輪胎的外表面）沖外?，F(xiàn)在，把紙圈2當(dāng)成原來(lái)的紙圈1，把紙圈1當(dāng)成原來(lái)的紙圈2，倒著把它們變回輪胎形，輪胎的內(nèi)外表面也就顛倒過(guò)來(lái)了。???????????有趣的是，把輪胎的內(nèi)表面翻出來(lái)之后，輪胎上的“經(jīng)線”和“緯線”（姑且這么叫吧）也將會(huì)顛倒過(guò)來(lái)：???????????Wikipedia上有一個(gè)巨帥無(wú)比的動(dòng)畫(huà)，直接展示出了把一個(gè)圓環(huán)面的內(nèi)表面翻到外面來(lái)的過(guò)程。此動(dòng)畫(huà)看著非常上癮，小心一看就是10分鐘！???????

5、????5.能否把左圖連續(xù)地變?yōu)橛覉D？???????????答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續(xù)變換，于是就變成了問(wèn)題1中的圖(a)。再利用問(wèn)題1的辦法，即可變出我們想要的形狀來(lái)。??????附：空間想象能力挑戰(zhàn)：把左圖連續(xù)地變換為右圖????為了說(shuō)明“同痕”這一概念直觀上并不容易把握，《TheKnotBook》一書(shū)中舉了一個(gè)經(jīng)典的例子。如下圖，左圖是一個(gè)有三個(gè)洞的立體圖形，右圖是被挖出了三條通道的立方體（但其中一個(gè)通道在另一個(gè)通道上纏繞了一圈）。令人難以置信的是，兩者之間竟然是同痕的，換句話說(shuō)前者可以連續(xù)地變形成為后者。你能想象出這

6、個(gè)變換過(guò)程嗎？??????????下面是其中一種想象的方法（選中顯示）：從右圖出發(fā)，讓左起第一個(gè)通道的兩頭靠在第二個(gè)通道上，并在第二個(gè)通道上滑動(dòng)。把上面的那頭沿著第二個(gè)通道滑到底面，把下面的那頭沿著第二個(gè)通道滑到頂面，你會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)立方體內(nèi)的通道不再打結(jié)了。接下來(lái)，把通道都拉直，把整個(gè)立方體拍扁了捏一捏，很容易就變成左圖了。