微分方程解的存在唯一性

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1、本科畢業(yè)論文論文題目：微分方程解的存在唯一性學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1年月日目錄一、引言……………………………………………………………2二、關(guān)于創(chuàng)新的思考………………………………………………（一）秩序問題的創(chuàng)新………………………………………………三、社會(huì)哲學(xué)的主題………………………………………………………參考文獻(xiàn)………………………………………………………………微分方程解的存在唯一性摘要：微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)。本文將介紹一階常微分方程初值問題求解的基本定

2、理：解的存在性、唯一性，解對(duì)初值的依賴性。微分方程解的存在唯一性定理是微分方程基本定理中最重要的內(nèi)容之一。關(guān)鍵詞：微分方程解的存在唯一性初值。引言：我們知道，微分方程機(jī)的問題在于求解和研究解的各種屬性。早在微分方程發(fā)展的古典時(shí)期，由于力學(xué)、物理學(xué)、幾何學(xué)等的需要，數(shù)學(xué)家曾把注意力主要集中在求微分方程的通解上，并取得了一系列重大的發(fā)展，但后來發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)的微分方程都求不出通解，特別在1841年Liouvill(柳維爾)證明了這樣一個(gè)事實(shí)，即Riccati（里卡蒂）方程除了某些特殊情形外，對(duì)一般的函數(shù)P、Q、R而言，其通解不

3、可能用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分予以表示。當(dāng)然，對(duì)一般的非線性方程將更是如此。另一方面，在物理和力學(xué)上提出的微分方程問題，又大都是要求滿足某種附加條件的特解，即所謂定解問題的解。這樣，就是人們改變了原來的想法，不去求通解，而開始從事定解問題的研究。到了十九世紀(jì)初葉，數(shù)學(xué)分析中所產(chǎn)，生的劃時(shí)代的飛躍，即極限、連續(xù)等嚴(yán)格概念和方法的建立，推動(dòng)了微分方程基本理論的發(fā)展。Cauchy（柯西）首先嚴(yán)格證明了，在相當(dāng)一般的情況下解的存在唯一性定理，為微分方程的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。后來有許多數(shù)學(xué)家又做了大量的工作，逐步形成了常微分方程的

4、一般理論。這一理論無論對(duì)于求解或?qū)τ谘芯拷獾母鞣N屬性都是最基本的。我們?cè)谝话愠Ｎ⒎值恼n程里，曾經(jīng)學(xué)過常微分方程的一般理論的初等部分，本文將通從深度和廣度兩個(gè)方面，對(duì)這一理論作進(jìn)一步的探討。在以下的討論中，我們著重研究的是一階標(biāo)準(zhǔn)型方程組其中f是關(guān)于t，x，x，……，x的已知函數(shù)。如令：x=（x,……，x，f（t，x）=（，…，，=，則方程組（E）可改寫成如下的向量形式=f（t，x），其中tR，x，fR（n維是歐式空間）。至于一般的高階方程組或方程，在一定條件下均可化成形如（E）的等價(jià)方程。1.1解的存在唯一性定理對(duì)于方程：

5、（1）這里f（t，x）區(qū)域R={（t，x）∣∣t-τ∣≤a，∣y-ξ∣≤b}上連續(xù)，且關(guān)于x滿足李普希茨（Lipschitz）條件,即存在常數(shù)L>0（稱作李普希茨常數(shù)），使得不等式∣f（t，x）-f（t，）∣≤L∣x-∣.對(duì)所有的（t，x），（t，）∈R則初始問題：（2）在區(qū)間:∣t-τ∣≤h上滿足存在唯一的連續(xù)解y=φ（t），其中h={a，}，M=.1.2解的延拓定理定理如果方程（1）右端的函數(shù)f（t，x）在有界區(qū)域G中連續(xù)，且在G內(nèi)關(guān)于y滿足局部李普希茨條件（即對(duì)于G內(nèi)每一點(diǎn)，有以其為中心的完全含于G內(nèi)的閉矩形R存在，

6、且在R上f（t，x）關(guān)于y滿足Lipschitz條件），那么方程（1）通過G內(nèi)任何一點(diǎn)邊界的解y=φ（t）可以延拓，直到點(diǎn)（t，φ（t））任意接近區(qū)域G?？梢韵騮增大的一方延拓來說，如果y=φ（t）只能延拓到區(qū)間≤x

7、=φ（t）無界，或者點(diǎn)（t，φ（t））趨于區(qū)間G的邊界。1.3關(guān)于解的存在唯一性定理的幾點(diǎn)說明（1）微分方程來源于實(shí)際問題，求解微分方程的目的就是為了得到某一變化過程中變量間的變化規(guī)律。當(dāng)一個(gè)實(shí)際問題所滿足的微分方程模型建立后，我們所關(guān)心的是該微分方程是否有解？有多少個(gè)解？例如=2x有無限多個(gè)解：y=+C.如果再加上初始條件y（）=y就有唯一解：y=x+y-x.（2）必須指出，解的存在唯一性定理中，f（t，x）的連續(xù)性條件只能保證微分方程的解存在，并不能保證其唯一。如：.對(duì)任意的x，y值而言，都是連續(xù)的，但是方程的解不一定

8、是唯一的。（1）存在唯一性定理是充分的，但不是必要的。如果把存在唯一性條件改成：在區(qū)域R上偏導(dǎo)數(shù)存在，而且其模是有界的，即∣f∣≤L，顯然這只是充分條件而不是必要的。換句話說，滿足∣f∣≤L時(shí)一定滿足Lipschitz條件，但滿足Lipschitz條件不一定滿足∣f∣≤L，那么利用中值定理：∣F（t，x