定積分的近似計(jì)算

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1、實(shí)驗(yàn)二定積分的近似計(jì)算數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1定積分計(jì)算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時(shí)，如何計(jì)算？這時(shí)就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時(shí)只能用近似方法計(jì)算定積分。本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時(shí)介紹Matlab計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康亩ǚe分的近似計(jì)算2矩形法梯形法拋物線法數(shù)值積分的常見算法主要內(nèi)容Matlab求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號(hào)積分函數(shù)：int3定積分的定義定積分的近似4矩形法n充分大，?x充分

2、小通常我們?nèi)∽簏c(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法點(diǎn)可以任意選取，常見的取法有：左端點(diǎn),右端點(diǎn)和中點(diǎn)。定積分的近似：5步長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)矩形法左點(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法fuluA.m6矩形法舉例例：用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分(取n=100)，并比較這三種方法的相對(duì)誤差。左點(diǎn)法：右點(diǎn)法：中點(diǎn)法：解：h=1/n=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100(i=0,1,2,...,100)7理論值：左點(diǎn)法相對(duì)誤差：相對(duì)誤差分析矩形法舉例右點(diǎn)法相對(duì)誤差：中點(diǎn)法相對(duì)誤差：不同的算法有不同的計(jì)算精度有沒有更好的近似計(jì)算定積分的方法?8定積分幾何意義9曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個(gè)曲邊梯形的面積：梯形法10如

3、果我們n等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別?fuluB.m11解：==>例：用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)，并計(jì)算相對(duì)誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)相對(duì)誤差：122n等分區(qū)間[a,b]，得用拋物線代替該直線，計(jì)算精度是否會(huì)更好？計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：拋物線法在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點(diǎn)的拋物線來近似原函數(shù)f(x)。13設(shè)過以上三點(diǎn)的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=?x2+?x+?=p1(x)拋物線法14同理可得：相加即

4、得：拋物線法15整理后可得：或辛卜生(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法fuluC.m16==>例：用拋物線法計(jì)算下面定積分(取n=100)，并計(jì)算相對(duì)誤差解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)拋物線法相對(duì)誤差：17矩形法梯形法拋物線法數(shù)值積分的常見算法Matlab函數(shù)Matlab求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號(hào)積分函數(shù)：int18trapz(x,y)x為分割點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）組成的向量，y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。trapztrapz梯形法19前面的做法例：用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n

5、=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)>>x=0:1/100:1;>>y=1./(1+x.^2);>>trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例20quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol為計(jì)算精度將自變量看成是向量不用自己分割積分區(qū)間可以指定計(jì)算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運(yùn)行的時(shí)間越長(zhǎng)此處的函數(shù)f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運(yùn)算，即：.*./..^quadquad拋物線法21解：>>quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>quad('1./(1+x.^2)',0,

6、1,1e-10)>>quad('1./(1+x.^2)',0,1,1e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號(hào)括起來！涉及的運(yùn)算一定要用數(shù)組運(yùn)算！例：用quad計(jì)算定積分：quad舉例22dblquad(f,a,b,c,d,tol)tol為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為10-6f可以是：字符串；inline定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄[a,b]是第一積分變量的積分區(qū)間，[c,d]是第二積分變量的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面dblquad拋物線法計(jì)算二重積分：dblquad23>>f=inline('4*x*y+3*y^2');>>I=dblquad(f,-1,1,0,2)f中關(guān)于第

7、一自變量的運(yùn)算是數(shù)組運(yùn)算，即把x看成是向量，y看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運(yùn)算例：計(jì)算二重積分>>dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例：計(jì)算二重積分dblquad舉例24例：計(jì)算二重積分>>dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y分別是第一和第二積分