第九講從算術(shù)到代數(shù)

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1、第九講從算術(shù)到代數(shù)（一）　　算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，但它們之間關(guān)系密切.代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.　　在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，并學(xué)會(huì)了用這些四則運(yùn)算去解一些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題.歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)主要用到了以下三種關(guān)系：　　①部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系；　?、趦蓴?shù)差的關(guān)系；　?、垡槐稊?shù)（或一份數(shù)）、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系.第1、第2種關(guān)系用“加”、“減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成.在解四則運(yùn)算題時(shí)用到了對

2、于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律.設(shè)a、b、c表示任意三個(gè)數(shù)，下列等式恒成立：　　交換律：a＋b=b+a，a×b=b×a　　結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b＋c）　　　　?。╝×b）×c=a×（b×c）　　分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c.　　另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類型.如：和倍問題、差倍問題、行程問題、百分?jǐn)?shù)問題、比例問題、….對每類問題先歸納出解決這類問題的方法、公式，并找出理由加以解釋，再做這類題時(shí)就“套”這種公式.所以用算術(shù)

3、方法解應(yīng)用題時(shí)，對不同類型的題用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的.　　代數(shù)方法的進(jìn)步首先在于找出了一個(gè)統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來解很多不同類型的應(yīng)用題.“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一.用方程來解應(yīng)用題時(shí)，首先是用一些簡單的符號(hào)，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母來表示問題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和已知數(shù)平等地看待，并把題目中的數(shù)量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示出來.這就是所謂依題意列方程.接著是通過代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什么樣的值

4、，即“解方程”.而解方程的原理就是對方程中的數(shù)，包括已知數(shù)和未知數(shù)，運(yùn)用在“算術(shù)”中學(xué)過的“數(shù)的運(yùn)算法則”把未知數(shù)求出來.因?yàn)檫@些法則是對任何數(shù)都成立的，當(dāng)然對那些暫時(shí)還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立.只要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些法則，一般就可求出方程中的未知數(shù)的值.歸納起來用代數(shù)方法解應(yīng)用題的步驟如下：　　1.設(shè)未知數(shù).常用x，y，z，t，s，…等字母表示.　　2.依題意列方程.即把所要解決的代數(shù)問題中的未知量換成代表未知數(shù)的字母，把問題中各種量間的關(guān)系“翻譯”為帶字母的算式表示出來，特別注意找出其中的相等關(guān)

5、系.用兩個(gè)代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)量，列出一個(gè)方程.因此方程是含有未知數(shù)的等式.一般說來，有n個(gè)相等關(guān)系就能列出n個(gè)方程，當(dāng)然我們從中選取列方程與解方程時(shí)最方便的形式.　　3.解方程.目的是把原方程變成同解的形如ax＝b的方程，進(jìn)而解出　　?、儆梅峙渎扇ダㄌ?hào).而不一定能像算術(shù)中那樣先把括號(hào)中數(shù)算出來.因?yàn)槠渲杏械氖俏粗獢?shù)算不出來.如下例中的（1）變成（2）.　　例164+x=3（32-x）（1）　　　　64+x=96-3（2）　　　　x+3x=96-64（3）　　　　　4x＝32（4）　　　　　x=8.（5）

6、　?、谝祈?xiàng).把含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)（即不含未知數(shù)的項(xiàng)）分離開來，分別移到等號(hào)兩端，注意移項(xiàng)變號(hào)法則.如上例中的（2）變成（3）.　?、酆喜⑼愴?xiàng)，如上例中的（3）變成（4）.　?、苡梦粗獢?shù)的系數(shù)去除方程兩端求出x的值.如上例中的（4）變成（5）.　　4.驗(yàn)算.一是實(shí)際計(jì)算求出的根是否滿足方程，不滿足的都舍去，二是根據(jù)題目的實(shí)際意義，刪除不合理的解.　　先以幾個(gè)簡單的四則應(yīng)用題為例來對“算術(shù)解法”與“代數(shù)解法”作一比較.　　例2車站給某工廠運(yùn)2000箱玻璃.合同規(guī)定完好地運(yùn)到一箱給5元運(yùn)費(fèi).如損壞一箱，不

7、給運(yùn)費(fèi)，倒賠40元.這批玻璃運(yùn)到后，車站共收到運(yùn)貨款9190元.問損壞了幾箱玻璃.　　解：①算術(shù)解法：假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運(yùn)到，則應(yīng)得運(yùn)貨款：2000×5=10000（元）.　　和實(shí)際所得運(yùn)貨款相差：　　10000-9190=810（元）.　　現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱所得運(yùn)貨款減少：　　40＋5=45（元）　　那么換多少箱，貨款正好減少多出來的810元呢？做除法：　　810÷45＝18（箱）.　　答：共換壞了18箱.　?、诖鷶?shù)解法：　　設(shè)損壞了x箱，

8、則沒損壞的共2000-x箱.　　依題意列方程　　5（2000-x）-40x=9190　　　　　　　　45x=10000-9190　　　　　　　　45x=810　　　　　　　　　x=18.　　答：損壞了18箱.　　比較這兩種解法，可見代數(shù)方法簡潔并具有高度普遍性.我們在后面的許多例題中都能充分地看出代數(shù)方法的優(yōu)越性.但這決不等于說可以取消算術(shù).這正如火車雖快決不能代替步行.在攀登高峰的崎嶇的小道上還常常靠堅(jiān)實(shí)的足步.下面舉幾個(gè)例子來看看算術(shù)方