數(shù)的定點表示和浮點表示

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1、計算機(jī)處理的數(shù)值數(shù)據(jù)多數(shù)帶有小數(shù)，小數(shù)點在計算機(jī)中通常有兩種表示方法，一種是約定所有數(shù)值數(shù)據(jù)的小數(shù)點隱含在某一個固定位置上，稱為定點表示法，簡稱定點數(shù)；另一種是小數(shù)點位置可以浮動，稱為浮點表示法，簡稱浮點數(shù)。1.定點數(shù)表示法(fixed-point)所謂定點格式，即約定機(jī)器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點位置是固定不變的。在計算機(jī)中通常采用兩種簡單的約定：將小數(shù)點的位置固定在數(shù)據(jù)的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常稱前者為定點小數(shù)，后者為定點整數(shù)。定點小數(shù)是純小數(shù)，約定的小數(shù)點位置在符號位之后、有效數(shù)值部分最高位之前。若數(shù)據(jù)?x?的形式為?x?=?x

2、0.x1x2…xn?(?其中x0為符號位，x1～xn是數(shù)值的有效部分，也稱為尾數(shù)，?x1為最高有效位?)，則在計算機(jī)中的表示形式為：一般說來，如果最末位?xn?=1，前面各位都為?0?，則數(shù)的絕對值最小，即?

3、x

4、min?=2-n?。如果各位均為?1，則數(shù)的絕對值最大，即?

5、x

6、max?=1-2-n?。所以定點小數(shù)的表示范圍是：2-?n??≤?

7、?x?

8、?≤?1-??2-?n定點整數(shù)是純整數(shù)，約定的小數(shù)點位置在有效數(shù)值部分最低位之后。若數(shù)據(jù)?x?的形式為?x?=?x0?x1x2…xn?(?其中x0為符號位，x1～xn?是尾數(shù)，?xn?為最低有效

9、位?)，則在計算機(jī)中的表示形式為：????定點整數(shù)的表示范圍是：1≤?

10、?x?

11、?≤?2n??-??1當(dāng)數(shù)據(jù)小于定點數(shù)能表示的最小值時，計算機(jī)將它們作0處理，稱為下溢；大于定點數(shù)能表示的最大值時，計算機(jī)將無法表示，稱為上溢，上溢和下溢統(tǒng)稱為溢出。計算機(jī)采用定點數(shù)表示時，對于既有整數(shù)又有小數(shù)的原始數(shù)據(jù)，需要設(shè)定一個比例因子，數(shù)據(jù)按其縮小成定點小數(shù)或擴(kuò)大成定點整數(shù)再參加運算，運算結(jié)果，根據(jù)比例因子，還原成實際數(shù)值。若比例因子選擇不當(dāng)，往往會使運算結(jié)果產(chǎn)生溢出或降低數(shù)據(jù)的有效精度。用定點數(shù)進(jìn)行運算處理的計算機(jī)被稱為定點機(jī)。????????2.浮點數(shù)表

12、示法(floating-pointnumber)與科學(xué)計數(shù)法相似，任意一個J進(jìn)制數(shù)N，總可以寫成N=J?E?×M式中M稱為數(shù)?N?的尾數(shù)(mantissa)，是一個純小數(shù)；E?為數(shù)?N?的階碼(exponent)，是一個整數(shù)，J稱為比例因子?J?E?的底數(shù)。這種表示方法相當(dāng)于數(shù)的小數(shù)點位置隨比例因子的不同而在一定范圍內(nèi)可以自由浮動，所以稱為浮點表示法。底數(shù)是事先約定好的(常取2)，在計算機(jī)中不出現(xiàn)。在機(jī)器中表示一個浮點數(shù)時，一是要給出尾數(shù)，用定點小數(shù)形式表示。尾數(shù)部分給出有效數(shù)字的位數(shù)，因而決定了浮點數(shù)的表示精度。二是要給出階碼，用整數(shù)形式表示

13、，階碼指明小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，因而決定了浮點數(shù)的表示范圍。浮點數(shù)也要有符號位。因此一個機(jī)器浮點數(shù)應(yīng)當(dāng)由階碼和尾數(shù)及其符號位組成：其中ES?表示階碼的符號，占一位，E1～En?為階碼值，占?n?位，尾符是數(shù)N的符號，也要占一位。當(dāng)?shù)讛?shù)取2時，二進(jìn)制數(shù)N的小數(shù)點每右移一位，階碼減小1，相應(yīng)尾數(shù)右移一位；反之，小數(shù)點每左移一位，階碼加1，相應(yīng)尾數(shù)左移一位。若不對浮點數(shù)的表示作出明確規(guī)定，同一個浮點數(shù)的表示就不是唯一的。例如?11.01?也可以表示成?0.011012-3?，0.1101×2-2?等等。為了提高數(shù)據(jù)的表示精度，當(dāng)尾數(shù)的值不為?0?時，

14、其絕對值應(yīng)大于等于?0.5，即尾數(shù)域的最高有效位應(yīng)為?1，否則要以修改階碼同時左右移小數(shù)點的方法，使其變成這一要求的表示形式，這稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。當(dāng)一個浮點數(shù)的尾數(shù)為?0?時，不論其階碼為何值，或者當(dāng)階碼的值遇到比它能表示的最小值還小時，不管其尾數(shù)為何值，計算機(jī)都把該浮點數(shù)看成?0?值，稱為機(jī)器零。浮點數(shù)所表示的范圍比定點數(shù)大。假設(shè)機(jī)器中的數(shù)由?8?位二進(jìn)制數(shù)表示(包括符號位)：在定點機(jī)中這?8?位全部用來表示有效數(shù)字(包括符號)；在浮點機(jī)中若階符、階碼占?3?位，尾符、尾數(shù)占?5?位，在此情況下，若只考慮正數(shù)值，定點機(jī)小數(shù)表示的數(shù)的范圍

15、是?0.0000000?到?0.1111111，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)的?0?到?127／128，而浮點機(jī)所能表示的數(shù)的范圍則是?2?-11×0.0001?到?211×0.1111，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)的?1／128?到?7.5?。顯然，都用?8?位，浮點機(jī)能表示的數(shù)的范圍比定點機(jī)大得多。盡管浮點表示能擴(kuò)大數(shù)據(jù)的表示范圍，但浮點機(jī)在運算過程中，仍會出現(xiàn)溢出現(xiàn)象。下面以階碼占?3?位，尾數(shù)占?5?位(各包括?1?位符號位)為例，來討論這個問題。圖?2-1給出了相應(yīng)的規(guī)格化浮點數(shù)的數(shù)值表示范圍。圖2-1?規(guī)格化浮點數(shù)分布示意圖圖2-1中，“可表示的負(fù)數(shù)區(qū)域”和“

16、可表示的正數(shù)區(qū)域”及“0”，是機(jī)器可表示的數(shù)據(jù)區(qū)域；上溢區(qū)是數(shù)據(jù)絕對值太大，機(jī)器無法表示的區(qū)域；下溢區(qū)是數(shù)據(jù)絕對值太小，機(jī)器無法表示的區(qū)域。若運算結(jié)果