二次函數(shù)的動點問的題目(提高篇)

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1、實用標準文案數(shù)學壓軸題二次函數(shù)動點問題1.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-3,0)、B兩點,與y軸相交于點C(0,).當x=-4和x=2時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y相等,連結AC、BC.(1)求實數(shù)a,b,c的值;(2)若點M、N同時從B點出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動,其中一個點到達終點時,另一點也隨之停止運動.當運動時間為t秒時,連結MN,將△BMN沿MN翻折,B點恰好落在AC邊上的P處,求t的值及點P的坐標;(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸上是否

2、存在點Q,使得以B,N,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)由題意得解得a=-,b=-,c=.(2)由(1)知y=-x2-x+,令y=0,得-x2-x+=0.解得x1=-3,x2=1.∵A(-3,0),∴B(1,0).又∵C(0,),∴OA=3,OB=1,OC=,∴AB=4,BC=2.∴tan∠ACO==,∴∠ACO=60°,∴∠CAO=30°.同理,可求得∠CBO=60°,∠BCO=30°,∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.又∵BM=BN=t,∴△BMN是等邊三角形

3、.∴∠BNM=60°,∴∠PNM=60°,∴∠PNC=60°.精彩文檔實用標準文案∴Rt△PNC∽Rt△ABC,∴=.由題意知PN=BN=t,NC=BC-BN=2-t,∴=.∴t=.∴OM=BM-OB=-1=.如圖1,過點P作PH⊥x軸于H,則PH=PM·sin60°=×=.MH=PM·cos60°=×=.∴OH=OM+MH=+=1.∴點P的坐標為(-1,).(3)存在.由(2)知△ABC是直角三角形,若△BNQ與△ABC相似,則△BNQ也是直角三角形.∵二次函數(shù)y=-x2-x+的圖象的對稱軸為x=-1.∴點P在對稱軸上.∵PN∥

4、x軸,∴PN⊥對稱軸.又∵QN≥PN,PN=BN,∴QN≥BN.∴△BNQ不存在以點Q為直角頂點的情形.①如圖2,過點N作QN⊥對稱軸于Q,連結BQ,則△BNQ是以點N為直角頂點的直角三角形,且QN>PN,∠MNQ=30°.∴∠PNQ=30°,∴QN===.精彩文檔實用標準文案∴==.∵=tan60°=,∴≠.∴當△BNQ以點N為直角頂點時,△BNQ與△ABC不相似.②如圖3,延長NM交對稱軸于點Q,連結BQ,則∠BMQ=120°.∵∠AMP=60°,∠AMQ=∠BMN=60°,∴∠PMQ=120°.∴∠BMQ=∠PMQ,又∵PM

5、=BM,QM=QM.∴△BMQ≌△PMQ,∴∠BQM=∠PQM=30°.∵∠BNM=60°,∴∠QBN=90°.∵∠CAO=30°,∠ACB=90°.∴△BNQ∽△ABC.∴當△BNQ以點B為直角頂點時,△BNQ∽△ABC.設對稱軸與x軸的交點為D.∵∠DMQ=∠DMP=60°,DM=DM,∴Rt△DMQ≌Rt△DMP.∴DQ=PD,∴點Q與點P關于x軸對稱.∴點Q的坐標為(-1,-).綜合①②得,在拋物線的對稱軸上存在點Q(-1,-),使得以B,N,Q為頂點的三角形與△ABC相似.2.如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠

6、0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式;(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;(3)如圖②,若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時E點的坐標.精彩文檔實用標準文案解:(1)由題意得.解得.∴所求拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;(2)存在符合條件的點P,其坐標為P(-1,)或P(-1,)或P(-1,6)或P(-1,);

7、(3)解法一:過點E作EF⊥x軸于點F,設E(m,-m2-2m+3)(-3<a<0)則EF=-m2-2m+3,BF=m+3,OF=-m.∴S四邊形BOCE=S△BEF+S梯形FOCE=BF·EF+(EF+OC)·OF=(m+3)(-m2-2m+3)+(-m2-2m+6)(-m).=-m2-m+=-(m+)2+∴當m=-時,S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時y=-(-)2-2×(-)+3=∴此時E點的坐標為(-,).解法二:過點E作EF⊥x軸于點F,設E(x,y)(-3<x<0)精彩文檔實用標準文案則S四邊形BOCE=S△BEF

8、+S梯形FOCE=BF·EF+(EF+OC)·OF=(3+x)·y+(3+y)(-x).=(y-x)=(-x2-3x+3).=-(x+)2+∴當x=-時,S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時y=-(-)2-2×(-)+3=∴此時E點的坐標為(-,

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