二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(提高篇)

《二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(提高篇)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、WORD格式可編輯數(shù)學(xué)壓軸題二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(－3，0)、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，)．當(dāng)x＝－4和x＝2時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)值y相等，連結(jié)AC、BC．（1）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；（2）若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連結(jié)MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2

2、）的條件下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意得解得a＝－，b＝－，c＝．（2）由（1）知y＝－x2－x＋，令y＝0，得－x2－x＋＝0．解得x1＝－3，x2＝1．∵A(－3，0)，∴B(1，0)．又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．∴△AB

3、C是直角三角形．又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等邊三角形．∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式可編輯∴Rt△PNC∽R(shí)t△ABC，∴＝．由題意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．∴t＝．∴OM＝BM－OB＝－1＝．如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，則PH＝PM·sin60°＝×＝．MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，)．（3）存在．由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ與△ABC相似，則△BNQ

4、也是直角三角形．∵二次函數(shù)y＝－x2－x＋的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1．∴點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上．∵PN∥x軸，∴PN⊥對(duì)稱(chēng)軸．又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．∴△BNQ不存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的情形．①如圖2，過(guò)點(diǎn)N作QN⊥對(duì)稱(chēng)軸于Q，連結(jié)BQ，則△BNQ是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式可編輯∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．∴當(dāng)△BNQ以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，△BNQ與△ABC不相似．②如圖3，延長(zhǎng)NM交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q，連

5、結(jié)BQ，則∠BMQ＝120°．∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC．∴當(dāng)△BNQ以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，△BNQ∽△ABC．設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為D．∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．∴DQ＝PD，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－

6、1，－)．綜合①②得，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q(－1，－)，使得以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．2.如圖①，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

7、專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式可編輯解：（1）由題意得．解得．∴所求拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3；（2）存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P(－1，)或P(－1，)或P(－1，6)或P(－1，)；（3）解法一：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(m，－m2－2m＋3)（－3＜a＜0）則EF＝－m2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．∴S四邊形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF＝(m＋3)(－m2－2m＋3)＋(－m2－2m＋6)(－m)．＝－m2－m＋＝－(m＋)2＋∴當(dāng)m＝

8、－時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時(shí)y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，)．解法二：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(x，y)（－3＜x＜0）專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式可編輯則S四邊形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF＝(3＋x)·y＋(3＋y)(－x)．＝(y－x)＝(－x2－3x＋3)．＝－(x＋)2＋∴當(dāng)x＝－時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時(shí)y＝－(－