二次函數(shù)動點問題[提高篇]

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1、WORD資料整理數(shù)學(xué)壓軸題二次函數(shù)動點問題1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(－3，0)、B兩點，與y軸相交于點C(0，)．當(dāng)x＝－4和x＝2時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)值y相等，連結(jié)AC、BC．（1）求實數(shù)a，b，c的值；（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動．當(dāng)運動時間為t秒時，連結(jié)MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，N，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

2、若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得解得a＝－，b＝－，c＝．（2）由（1）知y＝－x2－x＋，令y＝0，得－x2－x＋＝0．解得x1＝－3，x2＝1．∵A(－3，0)，∴B(1，0)．又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等邊三角形．∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．完美格式可編輯WORD資料整理∴Rt△PNC∽Rt△A

3、BC，∴＝．由題意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．∴t＝．∴OM＝BM－OB＝－1＝．如圖1，過點P作PH⊥x軸于H，則PH＝PM·sin60°＝×＝．MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．∴點P的坐標(biāo)為(－1，)．（3）存在．由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ與△ABC相似，則△BNQ也是直角三角形．∵二次函數(shù)y＝－x2－x＋的圖象的對稱軸為x＝－1．∴點P在對稱軸上．∵PN∥x軸，∴PN⊥對稱軸．又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．∴△BNQ不存在以點Q為直角頂點的情形．①如圖2，過點N作QN⊥對稱軸于Q，連結(jié)BQ，則△BNQ是以點

4、N為直角頂點的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．完美格式可編輯WORD資料整理∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．∴當(dāng)△BNQ以點N為直角頂點時，△BNQ與△ABC不相似．②如圖3，延長NM交對稱軸于點Q，連結(jié)BQ，則∠BMQ＝120°．∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC．∴當(dāng)△BNQ以點B為直角頂點時，△BNQ∽△

5、ABC．設(shè)對稱軸與x軸的交點為D．∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．∴DQ＝PD，∴點Q與點P關(guān)于x軸對稱．∴點Q的坐標(biāo)為(－1，－)．綜合①②得，在拋物線的對稱軸上存在點Q(－1，－)，使得以B，N，Q為頂點的三角形與△ABC相似．2.如圖①，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3（a≠0）與x軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖②，若點E為第二象限拋物

6、線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．完美格式可編輯WORD資料整理解：（1）由題意得．解得．∴所求拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3；（2）存在符合條件的點P，其坐標(biāo)為P(－1，)或P(－1，)或P(－1，6)或P(－1，)；（3）解法一：過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E(m，－m2－2m＋3)（－3＜a＜0）則EF＝－m2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．∴S四邊形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF＝(m＋3)(－m2－2m＋3)＋(－m2－2m＋6)(－m)．＝－m2－m＋＝－(m＋)2＋∴當(dāng)m＝－時，S

7、四邊形BOCE最大，且最大值為．此時y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此時E點的坐標(biāo)為(－，)．解法二：過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E(x，y)（－3＜x＜0）完美格式可編輯WORD資料整理則S四邊形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋(EF＋OC)·OF＝(3＋x)·y＋(3＋y)(－x)．＝(y－x)＝(－x2－3x＋3)．＝－(x＋)2＋∴當(dāng)x＝－時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時y＝－(－)