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《淺析無理型函數(shù)值域的幾種常規(guī)求法講義》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、淺析無理型函數(shù)值域的幾種常規(guī)求法一?觀察法:通過對函數(shù)定義域及其解析式的分析,從而確定函數(shù)值域?例1.求函數(shù)y=3+值域?解:∵≥2,∴函數(shù)值域為[5,+?二?單調(diào)性法:如果函數(shù)在某個區(qū)間上具有單調(diào)性,那么在該區(qū)間兩端點函數(shù)取得最值?例2.求函數(shù)y=x-的值域?解:函數(shù)的定義域為,函數(shù)y=x和函數(shù)y=-在上均為單調(diào)遞增函數(shù),故y≤=,因此,函數(shù)y=x-的值域是(-∞,]?三?換元法:通過代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法,把無理函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)來求函數(shù)值域的方法?例3.求函數(shù)y=x+的值域?解:定義域為x∈,令t=(t≥0),則x=于是y=-(t-1)2
2、+1,由t≥0知函數(shù)的值域為﹙-∞,1]?本題是通過換元將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域,但是換元后要注意新元的范圍?對于形如“”的函數(shù),此法適用于根號內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無理函數(shù),一般令,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù),當(dāng)然也適用于“”的函數(shù)?例4.求函數(shù)的值域?解:令,則且,則?當(dāng),即時,,當(dāng)時,?故函數(shù)值域為?5另外對于根號下的是2次的,我們同樣可以處理:例5.求函數(shù)y=x+的值域?解:∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴設(shè)x=cos,∈[0,]則y=cos+sin=sin(+),∵∈[0,],∴+∈[,],∴sin(+)∈[-,1],∴sin(+)∈[
3、-1,],∴函數(shù)y=x+的值域為[-1,]?其次如果有兩個根號的話,我們也可以處理:例6.求函數(shù)的值域?解:由,得?令且,則?由,得,則,故函數(shù)的值域為?對于形如“”的函數(shù),此法適用于兩根號內(nèi)自變量都是一次,且,此時函數(shù)的定義域為閉區(qū)間,如,則可作代換,且,即可化為型的函數(shù)?四?配方法:通過平方或換元化為形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù),借助配方法求函數(shù)的值域,要注意x的取值范圍?例7.求函數(shù)y=的值域?解:∵1-x≥0,且x≥0,∴0≤x≤1,又y>0,5∴y2=x+1-x+2=1+2令t=-x2+x=-(x-)2+,∵0≤x≤1,∴0≤t
4、≤,∴0≤≤,∴y2∈[1,2],∴函數(shù)y=的值域為[1,]?五?數(shù)形結(jié)合法:利用函數(shù)解析式的幾何意義,把求函數(shù)值域的問題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率或距離的范圍問題?例8.求函數(shù)f(x)=-的值域?解:f(x)=-=-f(x)表示動點P(x,0)到點A(-1,2)與點B(-1,1)的距離之差,求f(x)的值域就轉(zhuǎn)化為求P(x,0)到點A(-1,2)與點B(-1,1)的距離之差的范圍問題(如圖),∵
5、PA
6、-
7、PB
8、≤
9、AB
10、(當(dāng)且僅當(dāng)P?A?B共線時取等號),∴
11、PA
12、-
13、PB
14、≤1,即f(x)≤1,∴f(x)=-的值域是?高中數(shù)學(xué)無理函數(shù)值域的常見求法一?
15、形如“”的函數(shù)例1.求函數(shù)的值域?解:令,則且,則?當(dāng),即時,,當(dāng)時,?故函數(shù)值域為?說明:此法適用于根號內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無理函數(shù),一般令,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù),當(dāng)然也適用于“”的函數(shù)?5二?形如“”的函數(shù)例2.求函數(shù)的值域?解:由?令且[],則?由,得?當(dāng)時,;當(dāng)時,?故函數(shù)值域為?說明:這類函數(shù)根號內(nèi)外自變量的次數(shù)不同,不適合第一類型的解法?又且的函數(shù)定義域一定為閉區(qū)間,如,則可作三角代換為且,即可化為+k型函數(shù)?至于且及其他類型,可自己分析一下?三?形如“”的函數(shù)例3.求函數(shù)的值域?解:由,得?令且,則?由,得,5則,故函數(shù)的值域為
16、?說明:此法適用于兩根號內(nèi)自變量都是一次,且,此時函數(shù)的定義域為閉區(qū)間,如,則可作代換,且,即可化為型的函數(shù)?5
