哈工大概率論小論文

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1、.淺談概率論姓名航天學(xué)院電子信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)號【摘要】:概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是工科大學(xué)的一門應(yīng)用性很強的必修基礎(chǔ)課程。通過近一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對概率論也有了一些粗淺的認識，本文將從概率論的歷史和發(fā)展講起，接著對二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系進行一個簡單的論述，然后將概率論的一些概念與以往學(xué)過的概念進行類比，最后對概率論在工科數(shù)學(xué)分析中的幾個巧用進行說明，并附加了幾個實例。【關(guān)鍵詞】：二項分布；泊松分布；正態(tài)分布；類比；級數(shù)；廣義積分1概率論的起源和發(fā)展概率論不僅是當(dāng)代科學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，而且還是當(dāng)代社會和人類日常生活最必需的知識之一。正如十九世紀法國著名

2、數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“對于生活中的大部分,最重要的問題實際上只是概率問題。你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的,只有一小部分我們能確定地了解。甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身,歸納法、類推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上的。因此,整個的人類知識系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的?！比欢?饒有趣味的是,這門被拉普拉斯稱為“人類知識的最重要的一部分”的數(shù)學(xué)卻直接地起源于一種相當(dāng)獨特的人類行為的探索:人們對于機會性游戲的研究思考。所謂機會性游戲就是靠運氣取勝一些游戲,如賭博等。這種游戲不是哪一個民族的單獨發(fā)明,它幾乎出現(xiàn)在世界各地的許多地方,如埃及、印度、中國等。著名的希臘

3、歷史學(xué)家希羅多德在他的巨著《歷史》中寫道:早在公元前1500年,埃及人為了忘卻饑餓的困擾,經(jīng)常聚集在一起擲骰子和紫云英,這是一種叫做“獵犬與胡狼”的游戲,照一定規(guī)則,根據(jù)擲出各種不同的紫云英而移動籌碼。大約從公元前1200年起,人們把純天然的骨骼(如腳上的距骨)改進成了立方體的骰子。[1]二十世紀以來,概率論逐漸滲入到自然科學(xué)、社會科學(xué)、以及人們的日常生活等幾乎無所不在的領(lǐng)域中去.無論在研究領(lǐng)域,還是教育領(lǐng)域,它愈來愈成為一門當(dāng)今最重要的學(xué)科之一。于是,對于概率論歷史的研究也日益引起科學(xué)史學(xué)家們的重視。在概率論發(fā)展歷史上,...十八、十九世紀之交法國最偉大的科學(xué)家之

4、一拉普拉斯具有特殊的地位,1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率論》標志著概率論歷史上的一個重要階段--古典概率論的成熟。概率論發(fā)展到1901年,中心極限定理終于被嚴格的證明了,以后數(shù)學(xué)家正利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從以正態(tài)分布。到了20世紀的30年代,人們開始研究隨機過程,著名的馬爾可夫過程的理論在1931年才被奠定其地位。到了近代,出現(xiàn)了理論概率及應(yīng)用概率的分支,及將概率論應(yīng)用到不同范籌,從而產(chǎn)生了不同學(xué)科。因此,現(xiàn)代概率論已經(jīng)成為一個非常龐大的數(shù)學(xué)分支。2二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系2.1二項分布、泊松分布之間

5、的關(guān)系定理1泊松定理:在n重伯努利試驗中,事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為pn,它與試驗次數(shù)有關(guān),如果，則對任意給定的k,有k=0,1,2…泊松定理的證明見文獻（課本）。由該定理知，當(dāng)二項分布B（n,p）的參數(shù)n很大，p很小，而λ=np大小適中時，二項分布可用參數(shù)為np的泊松分布來近似,即這就是二項分布的泊松逼近。當(dāng)然應(yīng)盡可能地大,否則近似效果往往不佳。二項分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率p很小,當(dāng)伯努利試驗的次數(shù)n很大時,事件發(fā)生的頻數(shù)的分布。實際表明,在一般情況下,當(dāng)p<0.1時,這種近似是很好的,甚至n不必很大都可以。2.2二項分

6、布和正態(tài)分布之間的關(guān)系定理2設(shè)在n重伯努利試驗中，成功的次數(shù)為Yn,而在每次試驗中成功的概率為p(0

7、和正態(tài)近似各自適用的條件是不同的。當(dāng)p很小時,即使n不是很大,用泊松分布近似二項分布,已經(jīng)相當(dāng)吻合。但是在這種情形下,用正態(tài)分布去近似二項分布,卻會產(chǎn)生較大的誤差。直觀上也可以想象得到,p很小,n又不大,則λ=np一定不會很大。由定理3可知,正態(tài)分布就不能很好地近似泊松分布,因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二項分布。在n充分大,p既不接近于0也不接近于1時實際上最好滿足(0.1≤p≤0.9)用正態(tài)分布去近似二項分布,效果就較好。3類比法在概率論中的運用3.1事件和集合的類比事件是概率論的一個基本概念，事件的關(guān)系與運算可以和集合的關(guān)系與運算作類比學(xué)習(xí)。如在事件