哈工大概率論小論文

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1、.淺談概率論姓名航天學(xué)院電子信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)號(hào)【摘要】:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是工科大學(xué)的一門應(yīng)用性很強(qiáng)的必修基礎(chǔ)課程。通過近一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)概率論也有了一些粗淺的認(rèn)識(shí)，本文將從概率論的歷史和發(fā)展講起，接著對(duì)二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的論述，然后將概率論的一些概念與以往學(xué)過的概念進(jìn)行類比，最后對(duì)概率論在工科數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)巧用進(jìn)行說明，并附加了幾個(gè)實(shí)例?！娟P(guān)鍵詞】：二項(xiàng)分布；泊松分布；正態(tài)分布；類比；級(jí)數(shù)；廣義積分1概率論的起源和發(fā)展概率論不僅是當(dāng)代科學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，而且還是當(dāng)代社會(huì)和人類日常生活最必需的知識(shí)之一。正如十九世紀(jì)法國(guó)著名

2、數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“對(duì)于生活中的大部分,最重要的問題實(shí)際上只是概率問題。你可以說幾乎我們所掌握的所有知識(shí)都是不確定的,只有一小部分我們能確定地了解。甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身,歸納法、類推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上的。因此,整個(gè)的人類知識(shí)系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的?！比欢?饒有趣味的是,這門被拉普拉斯稱為“人類知識(shí)的最重要的一部分”的數(shù)學(xué)卻直接地起源于一種相當(dāng)獨(dú)特的人類行為的探索:人們對(duì)于機(jī)會(huì)性游戲的研究思考。所謂機(jī)會(huì)性游戲就是靠運(yùn)氣取勝一些游戲,如賭博等。這種游戲不是哪一個(gè)民族的單獨(dú)發(fā)明,它幾乎出現(xiàn)在世界各地的許多地方,如埃及、印度、中國(guó)等。著名的希臘

3、歷史學(xué)家希羅多德在他的巨著《歷史》中寫道:早在公元前1500年,埃及人為了忘卻饑餓的困擾,經(jīng)常聚集在一起擲骰子和紫云英,這是一種叫做“獵犬與胡狼”的游戲,照一定規(guī)則,根據(jù)擲出各種不同的紫云英而移動(dòng)籌碼。大約從公元前1200年起,人們把純天然的骨骼(如腳上的距骨)改進(jìn)成了立方體的骰子。[1]二十世紀(jì)以來,概率論逐漸滲入到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、以及人們的日常生活等幾乎無所不在的領(lǐng)域中去.無論在研究領(lǐng)域,還是教育領(lǐng)域,它愈來愈成為一門當(dāng)今最重要的學(xué)科之一。于是,對(duì)于概率論歷史的研究也日益引起科學(xué)史學(xué)家們的重視。在概率論發(fā)展歷史上,...十八、十九世紀(jì)之交法國(guó)最偉大的科學(xué)家之

4、一拉普拉斯具有特殊的地位,1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率論》標(biāo)志著概率論歷史上的一個(gè)重要階段--古典概率論的成熟。概率論發(fā)展到1901年,中心極限定理終于被嚴(yán)格的證明了,以后數(shù)學(xué)家正利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從以正態(tài)分布。到了20世紀(jì)的30年代,人們開始研究隨機(jī)過程,著名的馬爾可夫過程的理論在1931年才被奠定其地位。到了近代,出現(xiàn)了理論概率及應(yīng)用概率的分支,及將概率論應(yīng)用到不同范籌,從而產(chǎn)生了不同學(xué)科。因此,現(xiàn)代概率論已經(jīng)成為一個(gè)非常龐大的數(shù)學(xué)分支。2二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系2.1二項(xiàng)分布、泊松分布之間

5、的關(guān)系定理1泊松定理:在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn,它與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān),如果，則對(duì)任意給定的k,有k=0,1,2…泊松定理的證明見文獻(xiàn)（課本）。由該定理知，當(dāng)二項(xiàng)分布B（n,p）的參數(shù)n很大，p很小，而λ=np大小適中時(shí)，二項(xiàng)分布可用參數(shù)為np的泊松分布來近似,即這就是二項(xiàng)分布的泊松逼近。當(dāng)然應(yīng)盡可能地大,否則近似效果往往不佳。二項(xiàng)分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件即每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率p很小,當(dāng)伯努利試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí),事件發(fā)生的頻數(shù)的分布。實(shí)際表明,在一般情況下,當(dāng)p<0.1時(shí),這種近似是很好的,甚至n不必很大都可以。2.2二項(xiàng)分

6、布和正態(tài)分布之間的關(guān)系定理2設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中，成功的次數(shù)為Yn,而在每次試驗(yàn)中成功的概率為p(0

7、和正態(tài)近似各自適用的條件是不同的。當(dāng)p很小時(shí),即使n不是很大,用泊松分布近似二項(xiàng)分布,已經(jīng)相當(dāng)吻合。但是在這種情形下,用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布,卻會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。直觀上也可以想象得到,p很小,n又不大,則λ=np一定不會(huì)很大。由定理3可知,正態(tài)分布就不能很好地近似泊松分布,因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二項(xiàng)分布。在n充分大,p既不接近于0也不接近于1時(shí)實(shí)際上最好滿足(0.1≤p≤0.9)用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布,效果就較好。3類比法在概率論中的運(yùn)用3.1事件和集合的類比事件是概率論的一個(gè)基本概念，事件的關(guān)系與運(yùn)算可以和集合的關(guān)系與運(yùn)算作類比學(xué)習(xí)。如在事件