點到直線的距離、兩條平行直線間的距離

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1、3.3.3　點到直線的距離QPyxol思考：已知點P0(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0,怎樣求點P到直線l的距離呢?如圖，P到直線l的距離，就是指從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.當A=0或B=0時,直線方程為y=y1或x=x1的形式.QQxyox=x1P(x0,y0)yoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0)(1)點P(-1,2)到直線3x=2的距離是______.(2)點P(-1,2)到直線3y=2的距離是______.練習1下面設A≠0,B≠0,我們進一步探求點到直線的距離公式:[思路一]利用兩點間距離公式:Pyx

2、olQQxyP(x0,y0)OL:Ax+By+C=0[思路二]構造直角三角形求其高.RS練習23、求點P0（-1，2）到直線2x+y-10=0的距離.1、求點A（-2，3）到直線3x+4y+3=0的距離.2.求點B（-5，7）到直線12x+5y+3=0的距離.P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離：點到直線的距離：yxol2l1兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.兩條平行直線間的距離：兩條平行線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離是QP點到直線的距離與兩條平行直線間的距離1.點到直線的距離(1)定義:

3、點到直線的_______的長度.(2)圖示①:(3)公式:d=_______________.垂線段2.兩條平行直線間的距離(1)定義:夾在兩條平行直線間的_________的長.(2)圖示②:(3)求法：轉化為點到直線的距離.公垂線段判斷:(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)點到直線的距離公式適用于直線方程的任何形式.(　　)(2)當點P(x0,y0)在直線l:Ax+By+C=0上時,點到直線的距離公式不適用.(　　)(3)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也可以看做是兩條直線上各取一點的最短距離.(　　)提示：(1)錯誤.點到直線的

4、距離公式只適用于直線方程的一般式.(2)錯誤.當點在直線上時，此時仍然適用，故這種說法是錯誤的.(3)正確.兩平行線間的距離是夾在兩平行線間的公垂線段的長,即兩條直線上各取一點的最短距離.答案：(1)×(2)×(3)√【知識點撥】1.對點到直線的距離的三點說明(1)點到直線的距離的本質:其本質是點與直線上任意一點連線長度的最小值,可用最小值的方法求出.(2)從幾何特征上分析:點到直線的距離是點與過該點且垂直于已知直線的直線與已知直線的交點間的距離.(3)點到直線的距離的幾種特殊情況①點P(x0,y0)到x軸的距離d=

5、y0

6、;②點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d

7、=

8、x0

9、;③點P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a(a≠0)的距離d=

10、y0-a

11、;④點P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=a(a≠0)的距離d=

12、x0-a

13、.2.對兩條平行直線間的距離的理解(1)這個距離與所選點的位置無關,但一般要選取特殊的點(如與坐標軸的交點).(2)兩條平行直線間的距離是分別在兩條直線上的兩點間的距離的最小值.(3)兩條平行線間的距離公式除了將兩平行線間的距離轉化為點到直線的距離求解外,還可以利用兩條平行線間的距離公式求兩點間的距離.但在使用上述公式時,必須有兩個前提條件:一是兩條直線的方程都是一般式;二是x,y的系數(shù)分別對應相

14、等的情況,否則必須先化為對應相等才能套用公式.類型一點到直線的距離【典型例題】1.點(0,5)到直線y=2x的距離是()2.求過點A(-1,2),且與原點的距離等于的直線方程.【解題探究】1.在使用點到直線的距離公式時,對直線方程有什么要求？2.已知直線的斜率和已知點的坐標,如何寫出直線的點斜式方程？探究提示：1.必須把直線方程化成一般式.2.直線的點斜式方程為y-y0=k(x-x0).【解析】1.選B.y=2x化為一般式為2x-y=0,點(0,5)到直線y=2x的距離2.因為所求直線方程過點A(-1,2),且斜率存在，所以設直線方程為y-2=k(x+1),即

15、kx-y+k+2=0,又原點到直線的距離等于所以解得k=-7或k=-1.故直線方程為x+y-1=0或7x+y+5=0.【拓展提升】應用點到直線的距離公式應注意的三個問題(1)直線方程應為一般式,若給出其他形式應化為一般式.(2)點P在直線l上時,點到直線的距離為0,公式仍然適用.(3)直線方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直),故也可用數(shù)形結合求解.【變式訓練】若點(4,a)到直線4x-3y=0的距離不大于3,則a的取值范圍是()A.(0,10)B.［3,4］C.［］D.(-∞,0)∪［10,+∞)【解析】選C

16、.由題意解得類型二兩平行線間的距離【典