點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離

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1、3.3.3　點(diǎn)到直線的距離QPyxol思考：已知點(diǎn)P0(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0,怎樣求點(diǎn)P到直線l的距離呢?如圖，P到直線l的距離，就是指從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.當(dāng)A=0或B=0時(shí),直線方程為y=y1或x=x1的形式.QQxyox=x1P(x0,y0)yoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0)(1)點(diǎn)P(-1,2)到直線3x=2的距離是______.(2)點(diǎn)P(-1,2)到直線3y=2的距離是______.練習(xí)1下面設(shè)A≠0,B≠0,我們進(jìn)一步探求點(diǎn)到直線的距離公式:[思路一]利用兩點(diǎn)間距離公式:Pyx

2、olQQxyP(x0,y0)OL:Ax+By+C=0[思路二]構(gòu)造直角三角形求其高.RS練習(xí)23、求點(diǎn)P0（-1，2）到直線2x+y-10=0的距離.1、求點(diǎn)A（-2，3）到直線3x+4y+3=0的距離.2.求點(diǎn)B（-5，7）到直線12x+5y+3=0的距離.P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離：點(diǎn)到直線的距離：yxol2l1兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).兩條平行直線間的距離：兩條平行線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離是QP點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線間的距離1.點(diǎn)到直線的距離(1)定義:

3、點(diǎn)到直線的_______的長(zhǎng)度.(2)圖示①:(3)公式:d=_______________.垂線段2.兩條平行直線間的距離(1)定義:夾在兩條平行直線間的_________的長(zhǎng).(2)圖示②:(3)求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.公垂線段判斷:(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)點(diǎn)到直線的距離公式適用于直線方程的任何形式.(　　)(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在直線l:Ax+By+C=0上時(shí),點(diǎn)到直線的距離公式不適用.(　　)(3)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離,也可以看做是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離.(　　)提示：(1)錯(cuò)誤.點(diǎn)到直線的

4、距離公式只適用于直線方程的一般式.(2)錯(cuò)誤.當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，此時(shí)仍然適用，故這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的.(3)正確.兩平行線間的距離是夾在兩平行線間的公垂線段的長(zhǎng),即兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離.答案：(1)×(2)×(3)√【知識(shí)點(diǎn)撥】1.對(duì)點(diǎn)到直線的距離的三點(diǎn)說(shuō)明(1)點(diǎn)到直線的距離的本質(zhì):其本質(zhì)是點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)連線長(zhǎng)度的最小值,可用最小值的方法求出.(2)從幾何特征上分析:點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與過(guò)該點(diǎn)且垂直于已知直線的直線與已知直線的交點(diǎn)間的距離.(3)點(diǎn)到直線的距離的幾種特殊情況①點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d=

5、y0

6、;②點(diǎn)P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d

7、=

8、x0

9、;③點(diǎn)P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a(a≠0)的距離d=

10、y0-a

11、;④點(diǎn)P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=a(a≠0)的距離d=

12、x0-a

13、.2.對(duì)兩條平行直線間的距離的理解(1)這個(gè)距離與所選點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),但一般要選取特殊的點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)).(2)兩條平行直線間的距離是分別在兩條直線上的兩點(diǎn)間的距離的最小值.(3)兩條平行線間的距離公式除了將兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解外,還可以利用兩條平行線間的距離公式求兩點(diǎn)間的距離.但在使用上述公式時(shí),必須有兩個(gè)前提條件:一是兩條直線的方程都是一般式;二是x,y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相

14、等的情況,否則必須先化為對(duì)應(yīng)相等才能套用公式.類型一點(diǎn)到直線的距離【典型例題】1.點(diǎn)(0,5)到直線y=2x的距離是()2.求過(guò)點(diǎn)A(-1,2),且與原點(diǎn)的距離等于的直線方程.【解題探究】1.在使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),對(duì)直線方程有什么要求？2.已知直線的斜率和已知點(diǎn)的坐標(biāo),如何寫出直線的點(diǎn)斜式方程？探究提示：1.必須把直線方程化成一般式.2.直線的點(diǎn)斜式方程為y-y0=k(x-x0).【解析】1.選B.y=2x化為一般式為2x-y=0,點(diǎn)(0,5)到直線y=2x的距離2.因?yàn)樗笾本€方程過(guò)點(diǎn)A(-1,2),且斜率存在，所以設(shè)直線方程為y-2=k(x+1),即

15、kx-y+k+2=0,又原點(diǎn)到直線的距離等于所以解得k=-7或k=-1.故直線方程為x+y-1=0或7x+y+5=0.【拓展提升】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題(1)直線方程應(yīng)為一般式,若給出其他形式應(yīng)化為一般式.(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為0,公式仍然適用.(3)直線方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直),故也可用數(shù)形結(jié)合求解.【變式訓(xùn)練】若點(diǎn)(4,a)到直線4x-3y=0的距離不大于3,則a的取值范圍是()A.(0,10)B.［3,4］C.［］D.(-∞,0)∪［10,+∞)【解析】選C

16、.由題意解得類型二兩平行線間的距離【典