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1、貝塞爾函數的應用一、函數貝塞爾固有函數展開按照斯圖姆—劉維爾固有值理論，貝塞爾方程固有值問題的固有函數系?J(?x),(?i?1,2,3,?)?i組成區(qū)間[0,a]上的完備的正交函數系.任何一個在區(qū)間[0,a]上連續(xù)且只有有限個極大值和極小值的函數f(x),則可按固有函數?J?(?ix)?展開為如下形式的廣義傅立葉級數(傅里葉-貝塞爾級數)?fx()??fJn?(?nx)n?11a其中系數fn為fn?2?fx()J?(?nxdx)x0J(?x)?n該級數在區(qū)間[?,a???](?0)上一致收斂第四章-
2、貝塞爾函數的應用2例1:在第一類齊次邊界條件下，將函數2f(x)?x,0?x?1展開成零階貝塞爾函數J0(?nx)的傅里葉—貝塞爾級數。解：設?n,n?1,2,3,?為J0(x)?0的正根，?2x??fJn0(?nx),0??x1,n?1112而系數fn為f?xJ(?xdx)x.n2?0n0J(?x)0n在第一類齊次邊界條件下，J(?)?0,0n212所以J(?x)?J(?).0n1n2第四章-貝塞爾函數的應用3d112??f?xJ(?xdx)x.xJ(x)?(xJx())??1?n2?00ndxJ(
3、?x)0n1?n1313?0xJ0(?nxdx)??03tJt0()dtt??nx??nn1?n2d13??n2?t(tJ())t?(tJ(t)
4、n?2tJtd()t)4?01410?01?dt?nnJ1(?)2?nd2J1(?)22??n?(tJt())?n?(tJt())
5、n4?2420??0dt??nnnnJ(?)21n2???2J2(?n)J()x?J()x?Jx()????1??1?nnx2?J1(?n)?2(?J(?)?2Jx())Jx2()??Jx0()?Jx1()20n1x???nnn
6、第四章-貝塞爾函數的應用413J1(?n)4J(?x)2?1J2(?).?xJ0(?nxdx)?(1?2)0n1n0??2nn24那么,f?(1?),n2?J(?)?n1nn?224因此,x??(1?2)J0(?nx),0??x1.n?1?nJ1(?n)?n第四章-貝塞爾函數的應用5二、按貝塞爾函數展開求定解問題的解下面將舉例說明如何用貝塞爾函數求定解問題的解。例2：有一質量均勻的金屬圓柱體，半徑為r0，柱高為l，圓柱側面絕熱，而上下兩底面的溫度分別保持為f2(r)和f1(r)，試求圓柱體內部穩(wěn)定時的
7、溫度分布。解：由于溫度分布趨于穩(wěn)定，圓柱體內部溫度函數u(r,?,z)滿足定解問題第四章-貝塞爾函數的應用6222??u1?u1?u?u????=02222?rrr?r???z???ur(,,)?z(4.2)??0,ur(,,)?z???rr?0??r?ur(,,0)??fr()1??ur(,,)?l?fr()2設ur(,,)?z?Rr()()(),??Zz代入定解問題,得2??''()??m?()??0固有值問題(4.3)???()???(??2),'()?????'(??2)?222??rRr''
8、()?rRr'()(??r?mRr)()?0固有值問題(4.4)??Rr'()?0,R(0)???,?0Zz''()??Zz()?0,(4.5)第四章-貝塞爾函數的應用72??''()??m?()??0固有值問題(4.3)???()???(??2),'()?????'(??2)?22求解可得固有值為m?nn,?0,1,2,...求解可得固有函數為?()??Acosn??Bsinn?nnn由于邊界條件與?無關，所以定解問題的解也與?無關，?(?)只能取常數，這對應于m=0的情況。事實上把u(r,?,z)
9、代入邊界條件可得Rr()()(0)??Z?fr(),1Rr()()()??Zl?fr().2根據上兩個等式可知?()?只能取常數。第四章-貝塞爾函數的應用8m?0222??rRr''()?rRr'()(??r?mRr)()?0固有值問題(4.4)??Rr'()?0,R(0)???,?01當??0,方程為Rr''()?Rr'()?0,歐拉方程r通解為Rr()?Clnr?D.00?Rr'()?0,Rr()??,?Rr()?D0,0為方便取Rr()1.?當??0,方程的通解為Rr()?AJ(?r)?BN(?
10、r),00由自然邊界條件R(0)有限，得Rr()?AJ(?r).0其中?滿足J0'(?r0)?0第四章-貝塞爾函數的應用9m?0222??rRr''()?rRr'()(??r?mRr)()?0固有值問題(4.4)??Rr'()?0,R(0)???,?0按照斯圖姆—劉維爾固有值理論或貝塞爾函數零點2的性質，可設?n??n,以及?0?0??1??2????n??相應的固有函數系為1,J(?rJ),(?rJ),(?r),??.010203其中?n為J0'(?r
