質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

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1、第三篇動力學(xué)引言回顧靜力學(xué)研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律及力系的簡化；運(yùn)動學(xué)從幾何觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動，而不涉及物體所受的力；動力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系。動力學(xué)就是從因果關(guān)系上論述物體的機(jī)械運(yùn)動。是理論力學(xué)中最具普遍意義的部分，靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)則是動力學(xué)的特殊情況。低速、宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動的普遍規(guī)律。動力學(xué)的研究對象：動力學(xué)的理論基礎(chǔ)：牛頓定律的適用范圍（1）不適于微觀物體；（2）物體的運(yùn)動速度不能太大。牛頓的運(yùn)動三定律，簡稱牛頓定律或動力學(xué)基本定律動力學(xué)分為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)：質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和大小可以忽略不計的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由幾個或無限個

2、相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)系可分為不變質(zhì)點(diǎn)系（如單個剛體）和可變質(zhì)點(diǎn)系（如剛體系統(tǒng)）本課程重點(diǎn)放在質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)。牛頓★牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說?！锱ｎD在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理?！锱ｎD在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對整個自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對動力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。解決動力學(xué)兩類基本問題的途徑：直接應(yīng)用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分

3、方程；綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理；應(yīng)用達(dá)朗貝爾定理。應(yīng)用動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。牛頓力學(xué)分析力學(xué)動力學(xué)的主要任務(wù)（解決的基本問題）：第一類：已知物體的運(yùn)動規(guī)律，求作用在此物體上的力；第二類：已知作用在物體上的力求此物體產(chǎn)生什么樣的運(yùn)動。第九章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基本方程§9-1動力學(xué)的基本定律§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程§9-3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題★第一定律（慣性定律）§9-1動力學(xué)的基本定律不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動。本定律揭示了一切物體均有保持靜止或作勻速直線運(yùn)動的性質(zhì)，即慣性。說明：勻速直線運(yùn)動稱為慣性運(yùn)動。明確了力是改變（而不是維持！）物體運(yùn)動的原因

4、?！锏诙桑εc加速度之間的關(guān)系的定律）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。即此式建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。說明：在地球表面，物體受重力作用，有G=mg式中，g—重力加速度，一般取g=9.80m/s2。質(zhì)量和重量區(qū)別？★第三定律（作用與反作用定律）兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體上。動力學(xué)基本定律說明：（1）牛頓三定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。工程問題中，取固于地面或相對于地面作勻速直線運(yùn)動的坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，（2）以牛

5、頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)稱為古典力學(xué)。§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程xozyrijkF1FnFiaFRaaaM根據(jù)牛頓第二定律，若質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受n個力F1,F2,….,Fn作用，或而則矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。則有1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影xozyrijkF1FnFiaFRaaaM將式向坐標(biāo)軸投影，得直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在自然軸上的投影bnaFτ(＋)(－)m在質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡上建立自然軸系M?bn，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的加速度在運(yùn)動軌跡的密切面內(nèi)，即所以作用在該質(zhì)點(diǎn)上力系的合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi)，則自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

6、§9-3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題第一類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求此質(zhì)點(diǎn)所受的力。如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程，得一代數(shù)方程組，即可求解。第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第二類基本問題，如求質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動方程等，歸結(jié)為解微分方程或求積分問題，還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因此，需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分，并根據(jù)具體問題的運(yùn)動條件確定積分常數(shù)。在實(shí)際問題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只能通過逐步逼近或數(shù)值計算的方法，獲得近似解或數(shù)值解

7、。注意：微分方程等號左邊總設(shè)為正，等號右邊是力在坐標(biāo)軸上的投影，應(yīng)注意投影的正負(fù)號。1、求質(zhì)點(diǎn)的加速度yxoyx解：例題1質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，運(yùn)動方程是x=bcosωt,y=dsinωt，其中b,d,ω為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。ij2、求質(zhì)點(diǎn)所受的力由得M討論：⑴力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心，為有心力；⑵力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比。易知：求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：從運(yùn)動方程中消去t，得yxorijyxMF質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為例2在均勻的靜止液體中，質(zhì)量為m的物體M從液面處無初速下沉。設(shè)液體阻力FR=，其中為阻尼系數(shù)。試分析該