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1、11.布萊克-舒爾斯-默頓期權定價模型河南大學工商管理學院財務金融系李治國E-mail:kflizhiguo@126.com§1布萊克-舒爾斯-默頓期權定價模型的基本思路期權是其標的資產的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權有效期、無風險利率和標的資產收益的情況下，期權價格變化的唯一來源就是股票價格的變化。股票價格是影響期權價格的最根本因素。因此，要研究期權的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復制期權，并以此為依據給期權定價。在下面幾節(jié)我們會用數學的語言來描述這種定價的思想?！?股票價格的變化過程布朗運動（Brown
2、ianMotion）起源于英國植物學家布郎對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。一、標準布朗運動其中，ε代表從標準正態(tài)分布中取的一個隨機值。設△t代表一個小的時間間隔長度，△z代表變量z在時間△t內的變化，遵循標準布朗運動的△z具有兩種特征：特征1：△z和△t的關系滿足：由此可以看出：即：當△t?0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：特征2：對于任何兩個不同時間間隔△t，△z的值相互獨立?？疾熳兞縵在一段較長時間T中的變化情形，我們可得：由于εi服從標準正態(tài)分布，且相互獨立。因此：其中：N△t=T為何使用布朗運動？正態(tài)分布的使用：經驗事實證明，股票價格的連續(xù)
3、復利收益率近似地服從正態(tài)分布數學上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程維納過程在數學上對時間處處不可導和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質，與股票收益率在時間上存在轉折尖點等性質也是相符的根據眾多學者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內在一致的。因此我們可以用數學來刻畫股票的這種特征。1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，
4、證券價格能完全反應全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）來表述。隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現在的價格。二、普通布朗運動其中，a和b均為常數，dz遵循標準布朗運動。我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為
5、b2，就可得到變量x的普通布朗運動：漂移率：單位時間內變量z均值的變化值方差率：單位時間的方差遵循普通布朗運動的變量x是關于時間和dz的動態(tài)過程：adt為確定項，意味著x的漂移率是每單位時間為a；bdz是隨機項，代表著對x的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機波動，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。普通布朗運動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為1、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。2、標準布朗運動為普通布朗運動的特例。三、伊藤過程與伊藤引理其中：dz
6、是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數，變量x的漂移率為a，方差率為b2。普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數，我們可以從公式得到伊藤過程（ItoProcess）：這就是伊藤過程（ItoProcess）。其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數，變量x的漂移率為a，方差率為b2。在伊藤過程的基礎上，數學家伊藤（K.Ito）進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數G將遵循如下過程：其中，dz是一個標準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。由于根據伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下
7、過程：四、股票價格的變化過程：幾何布朗運動一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程（即幾何布朗運動）來表示：之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個：一是可以避免股票價格為負從而與有限責任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。令由于代入式證券價格對數G遵循普通布朗運動,且具有恒定的漂移率μ-σ2/2和恒定的方差率σ2。得到證券價格對數G所遵循的隨機過程為：案例11.1運用伊藤引理推導LnS所遵循的隨機過程1.從自然對數的定義域可知，S不能為負數。2.股票價格的對數服
8、從普通布朗運動，股票價格和連續(xù)復利收益率服從對數正態(tài)
