布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型

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1、11.布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型河南大學(xué)工商管理學(xué)院財務(wù)金融系李治國E-mail:kflizhiguo@126.com§1布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型的基本思路期權(quán)是其標的資產(chǎn)的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化。股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。在下面幾節(jié)我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想?！?股票價格的變化過程布朗運動（Brown

2、ianMotion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。一、標準布朗運動其中，ε代表從標準正態(tài)分布中取的一個隨機值。設(shè)△t代表一個小的時間間隔長度，△z代表變量z在時間△t內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的△z具有兩種特征：特征1：△z和△t的關(guān)系滿足：由此可以看出：即：當(dāng)△t?0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：特征2：對于任何兩個不同時間間隔△t，△z的值相互獨立。考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得：由于εi服從標準正態(tài)分布，且相互獨立。因此：其中：N△t=T為何使用布朗運動？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)

3、復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程維納過程在數(shù)學(xué)上對時間處處不可導(dǎo)和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時間上存在轉(zhuǎn)折尖點等性質(zhì)也是相符的根據(jù)眾多學(xué)者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準確的，

4、證券價格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）來表述。隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。可分為離散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。二、普通布朗運動其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為

5、b2，就可得到變量x的普通布朗運動：漂移率：單位時間內(nèi)變量z均值的變化值方差率：單位時間的方差遵循普通布朗運動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程：adt為確定項，意味著x的漂移率是每單位時間為a；bdz是隨機項，代表著對x的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機波動，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。普通布朗運動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為1、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。2、標準布朗運動為普通布朗運動的特例。三、伊藤過程與伊藤引理其中：dz

6、是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式得到伊藤過程（ItoProcess）：這就是伊藤過程（ItoProcess）。其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：其中，dz是一個標準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。由于根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下

7、過程：四、股票價格的變化過程：幾何布朗運動一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程（即幾何布朗運動）來表示：之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個：一是可以避免股票價格為負從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。令由于代入式證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且具有恒定的漂移率μ-σ2/2和恒定的方差率σ2。得到證券價格對數(shù)G所遵循的隨機過程為：案例11.1運用伊藤引理推導(dǎo)LnS所遵循的隨機過程1.從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負數(shù)。2.股票價格的對數(shù)服

8、從普通布朗運動，股票價格和連續(xù)復(fù)利收益率服從對數(shù)正態(tài)