慣性矩及慣性積

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1、慣性矩及慣性積在討論物體的平面動(dòng)力學(xué)時(shí)，需介紹對(duì)通過(guò)質(zhì)心G且與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸之慣性矩IG。在三維動(dòng)力分析時(shí)，有時(shí)需計(jì)算六個(gè)慣性量。這些項(xiàng)稱(chēng)為慣性矩及慣性積(momentsandproductsofinertia)，其以特殊方式描述物體相對(duì)于一已確定方向及原點(diǎn)的坐標(biāo)系統(tǒng)的質(zhì)量分布。慣性矩考慮下圖所示的剛體，物體的微分元素dm對(duì)三坐標(biāo)軸的任一軸的慣性矩(momentofinertia)可定義為：元素的質(zhì)量和此元素到該軸的最短距離的平方之乘積。例如，如圖中所標(biāo)示的，故dm對(duì)x軸的質(zhì)量慣性矩為??物體的質(zhì)量慣性矩Ixx為上式對(duì)整個(gè)物體的質(zhì)量積分。因此，對(duì)各軸的慣性矩可

2、寫(xiě)成在此可看出慣性矩必為正的量，由于此量是質(zhì)量dm與距離平方的乘積之和，而質(zhì)量dm必為正。慣性積微分元素dm相對(duì)于一組相互正交的兩平面的慣性積(productofinertia)定義為：質(zhì)量元素與至各平面的垂直(或最短)距離的乘積。例如，相對(duì)于y-z及x-z平面，上圖的質(zhì)量元素的慣性積dIxy為dIxy=xydm?同時(shí)注意dIyx=dIxy。對(duì)整個(gè)質(zhì)量積分，物體對(duì)各平面組合的慣性積可表示為不像慣性矩必為正，慣性積可為正、負(fù)或零。其結(jié)果是視其定義的兩個(gè)坐標(biāo)的符號(hào)而定，因其符號(hào)的變化是彼此獨(dú)立的。特殊情況，如質(zhì)量對(duì)稱(chēng)于兩正交平面之一或兩者，則相對(duì)于此二平面的慣性積將

3、為零，在此情況下，質(zhì)量元素將成對(duì)出現(xiàn)于對(duì)稱(chēng)平面的兩側(cè)，其中一例的元素，慣性積為正，兩另一例對(duì)應(yīng)元素的慣性積為負(fù)，故其和為零。這種例子如下圖所示。在第一種情況，圖(a)，y-z平面為對(duì)稱(chēng)平面，故Ixz=Ixy=0，而Iyz計(jì)算的結(jié)果將為正，因所有的質(zhì)量元素均位于正y及z坐標(biāo)。對(duì)于圖(b)所示的圓柱及坐標(biāo)軸，x-z及y-z，平面均為對(duì)稱(chēng)平面，故Izx=Iyz=Ixy=0。?平行軸與平行面定理求解物體慣性矩的積分技巧已于前面章節(jié)中討論過(guò)。同時(shí)也曾討論過(guò)組合物體，即由簡(jiǎn)單形狀所組合成的物體的慣性矩，并表列于后封面內(nèi)頁(yè)。在這些情況，平行軸定理(parallel-axist

4、heorem)常被用來(lái)計(jì)算，此定理于前面章節(jié)中導(dǎo)出，用來(lái)轉(zhuǎn)移對(duì)通過(guò)質(zhì)心G的軸的慣性矩至通過(guò)另一點(diǎn)的平行軸上。此時(shí)，若G點(diǎn)在x,y,z軸上的坐標(biāo)為xG,yG,zG，如下圖，則用來(lái)計(jì)算對(duì)x,y,z軸的慣性矩的平行軸方程式為??物體或組合體的慣性積的計(jì)算方式和物體的慣性矩相同。然而，此時(shí)的平行面定理就顯得相當(dāng)重要。此定理是用來(lái)將物體對(duì)一組通過(guò)物體質(zhì)心的三正交平面的慣性積轉(zhuǎn)移至另一組通過(guò)O點(diǎn)的三個(gè)平行面上。若平面間的垂直距離為xG,yG,zG，如下圖，則平行面方程式可寫(xiě)成?這些方程式的推導(dǎo)和前面章節(jié)平行軸方程式相同。?慣性張量物體的慣性性質(zhì)可由九個(gè)量完全描述其特性，其中

5、有六個(gè)是彼此獨(dú)立的。這些量由定義，可寫(xiě)成?此數(shù)組稱(chēng)為慣性張量(inertiatensor)。當(dāng)此張量是對(duì)于不同原點(diǎn)O及不同坐標(biāo)軸方向來(lái)計(jì)算，物體的慣性張量都有一組唯一的數(shù)值。對(duì)于O及點(diǎn)我們可以找到唯一的一組坐標(biāo)軸方向，使得物體對(duì)這些軸的慣性積均為零。在此情況，此慣性張量稱(chēng)為"對(duì)角化"，可寫(xiě)成簡(jiǎn)單形式?此處Ix=Ixx，Iy=Iyy及Iz=Izz稱(chēng)為物體的主慣性矩(principalmomentsofinertia)，這是對(duì)慣性主軸計(jì)算而得。三個(gè)主慣性矩中，有一個(gè)是物體的最大慣性矩，另有一個(gè)是最小慣性矩。在此將不討論如何用數(shù)學(xué)方法來(lái)求慣性主軸的方向。但有許多情況下

6、的主軸可由觀察即可獲得。根據(jù)前面慣性積的討論我們可以注意到，當(dāng)三相互正交的平面中有兩個(gè)平面是物體的對(duì)稱(chēng)面，則物體對(duì)此坐標(biāo)平面的所有慣性積為零，若坐標(biāo)軸位于此二平面上，則此坐標(biāo)軸即為慣性主軸。例如，前圖(b)所示的x,y,z軸即為圓柱在O點(diǎn)的慣性主軸。?對(duì)任意軸的慣性矩考慮下圖所示的物體，并已對(duì)原點(diǎn)在O點(diǎn)的x,y,z軸求出慣性張量的九個(gè)元素?，F(xiàn)在若想求物體對(duì)Oa軸的慣性矩，Oa軸的方向由單位向量ua定義，則根據(jù)定義IOa=∫b2dm，其中b是dm至Oa的垂直距離。若dm的位置以r表示，則b=rsinq即表示ua′r的大小。故慣性矩可表為??若ua=uxi+uyj+

7、uzk及r=xi+yj+zk，故ua′r=(uyz-uzy)i+(uzx-uxz)j+(uxy-uyx)k，代入后并進(jìn)行點(diǎn)乘積，我們可將慣性矩寫(xiě)成?將物體的慣性矩及慣性積用符號(hào)取代，得??若物體的慣性張量是對(duì)x,y,z軸計(jì)算的，則對(duì)傾斜軸Oa的慣性矩可用上式來(lái)計(jì)算。而計(jì)算前必先求出Oa軸的方向余弦ux,uy,uz，此三項(xiàng)乃分別是Oa軸與x,y,z軸間的夾角a,b,g的余弦值。