慣性矩及慣性積

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1、慣性矩及慣性積在討論物體的平面動力學(xué)時，需介紹對通過質(zhì)心G且與運動平面垂直的軸之慣性矩IG。在三維動力分析時，有時需計算六個慣性量。這些項稱為慣性矩及慣性積(momentsandproductsofinertia)，其以特殊方式描述物體相對于一已確定方向及原點的坐標系統(tǒng)的質(zhì)量分布。慣性矩考慮下圖所示的剛體，物體的微分元素dm對三坐標軸的任一軸的慣性矩(momentofinertia)可定義為：元素的質(zhì)量和此元素到該軸的最短距離的平方之乘積。例如，如圖中所標示的，故dm對x軸的質(zhì)量慣性矩為??物體的質(zhì)量慣性矩Ixx為上式對整個物體的質(zhì)量積分。因此，對各軸的慣性矩可

2、寫成在此可看出慣性矩必為正的量，由于此量是質(zhì)量dm與距離平方的乘積之和，而質(zhì)量dm必為正。慣性積微分元素dm相對于一組相互正交的兩平面的慣性積(productofinertia)定義為：質(zhì)量元素與至各平面的垂直(或最短)距離的乘積。例如，相對于y-z及x-z平面，上圖的質(zhì)量元素的慣性積dIxy為dIxy=xydm?同時注意dIyx=dIxy。對整個質(zhì)量積分，物體對各平面組合的慣性積可表示為不像慣性矩必為正，慣性積可為正、負或零。其結(jié)果是視其定義的兩個坐標的符號而定，因其符號的變化是彼此獨立的。特殊情況，如質(zhì)量對稱于兩正交平面之一或兩者，則相對于此二平面的慣性積將

3、為零，在此情況下，質(zhì)量元素將成對出現(xiàn)于對稱平面的兩側(cè)，其中一例的元素，慣性積為正，兩另一例對應(yīng)元素的慣性積為負，故其和為零。這種例子如下圖所示。在第一種情況，圖(a)，y-z平面為對稱平面，故Ixz=Ixy=0，而Iyz計算的結(jié)果將為正，因所有的質(zhì)量元素均位于正y及z坐標。對于圖(b)所示的圓柱及坐標軸，x-z及y-z，平面均為對稱平面，故Izx=Iyz=Ixy=0。?平行軸與平行面定理求解物體慣性矩的積分技巧已于前面章節(jié)中討論過。同時也曾討論過組合物體，即由簡單形狀所組合成的物體的慣性矩，并表列于后封面內(nèi)頁。在這些情況，平行軸定理(parallel-axist

4、heorem)常被用來計算，此定理于前面章節(jié)中導(dǎo)出，用來轉(zhuǎn)移對通過質(zhì)心G的軸的慣性矩至通過另一點的平行軸上。此時，若G點在x,y,z軸上的坐標為xG,yG,zG，如下圖，則用來計算對x,y,z軸的慣性矩的平行軸方程式為??物體或組合體的慣性積的計算方式和物體的慣性矩相同。然而，此時的平行面定理就顯得相當重要。此定理是用來將物體對一組通過物體質(zhì)心的三正交平面的慣性積轉(zhuǎn)移至另一組通過O點的三個平行面上。若平面間的垂直距離為xG,yG,zG，如下圖，則平行面方程式可寫成?這些方程式的推導(dǎo)和前面章節(jié)平行軸方程式相同。?慣性張量物體的慣性性質(zhì)可由九個量完全描述其特性，其中

5、有六個是彼此獨立的。這些量由定義，可寫成?此數(shù)組稱為慣性張量(inertiatensor)。當此張量是對于不同原點O及不同坐標軸方向來計算，物體的慣性張量都有一組唯一的數(shù)值。對于O及點我們可以找到唯一的一組坐標軸方向，使得物體對這些軸的慣性積均為零。在此情況，此慣性張量稱為"對角化"，可寫成簡單形式?此處Ix=Ixx，Iy=Iyy及Iz=Izz稱為物體的主慣性矩(principalmomentsofinertia)，這是對慣性主軸計算而得。三個主慣性矩中，有一個是物體的最大慣性矩，另有一個是最小慣性矩。在此將不討論如何用數(shù)學(xué)方法來求慣性主軸的方向。但有許多情況下

6、的主軸可由觀察即可獲得。根據(jù)前面慣性積的討論我們可以注意到，當三相互正交的平面中有兩個平面是物體的對稱面，則物體對此坐標平面的所有慣性積為零，若坐標軸位于此二平面上，則此坐標軸即為慣性主軸。例如，前圖(b)所示的x,y,z軸即為圓柱在O點的慣性主軸。?對任意軸的慣性矩考慮下圖所示的物體，并已對原點在O點的x,y,z軸求出慣性張量的九個元素。現(xiàn)在若想求物體對Oa軸的慣性矩，Oa軸的方向由單位向量ua定義，則根據(jù)定義IOa=∫b2dm，其中b是dm至Oa的垂直距離。若dm的位置以r表示，則b=rsinq即表示ua′r的大小。故慣性矩可表為??若ua=uxi+uyj+

7、uzk及r=xi+yj+zk，故ua′r=(uyz-uzy)i+(uzx-uxz)j+(uxy-uyx)k，代入后并進行點乘積，我們可將慣性矩寫成?將物體的慣性矩及慣性積用符號取代，得??若物體的慣性張量是對x,y,z軸計算的，則對傾斜軸Oa的慣性矩可用上式來計算。而計算前必先求出Oa軸的方向余弦ux,uy,uz，此三項乃分別是Oa軸與x,y,z軸間的夾角a,b,g的余弦值。