函數(shù)2-2函數(shù)的單調(diào)性與最值

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1、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①函數(shù)單調(diào)性的定義．②函數(shù)的最大(小)值．難點(diǎn)：①函數(shù)單調(diào)性的證明．②求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間．知識(shí)歸納一、單調(diào)性定義1．單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，若對(duì)于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的減函數(shù)．2．證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手，也可以用導(dǎo)數(shù)證明．(1)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①任取x1、x2∈D，且x1

2、和等)；③依據(jù)差式的符號(hào)確定其增減性．(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)．如果f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)．二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1．若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)仍為增(減)函數(shù)．3．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性．4．y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為增函數(shù)；若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為減函數(shù)．5．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的

3、單調(diào)性相反．三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有：(1)比較函數(shù)值或自變量值的大?。?2)求某些函數(shù)的值域或最值．(3)解證不等式．(4)作函數(shù)圖象．四、函數(shù)的最大(小)值：1．定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域?yàn)棰?，如果存在?shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)存在x0∈Ⅰ使得f(x0)＝M.稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大(或最小)值．2．求法：(1)配方法，(2)判別式法，(3)基本不等式法，(4)換元法，(5)數(shù)形結(jié)合法，(6)單調(diào)性法，(7)導(dǎo)數(shù)法．誤區(qū)警示1．對(duì)于函數(shù)單調(diào)性定義的理解，要注意以下三點(diǎn)(1)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某一個(gè)區(qū)間而言的．f(x)

4、在區(qū)間A與B上都是增(或減)函數(shù)，在A∪B上不一定單調(diào)．(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的性質(zhì)，因此定義中的x1，x2在這一區(qū)間上具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定義都是充要性命題，因此若f(x)是增(或減)函數(shù)，則f(x1)x2)．2．在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域一、利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)增(減)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)y＝f[g(x)]在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性由以下表格所示，實(shí)施

5、該法則時(shí)首先應(yīng)考慮函數(shù)的定義域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．分析：證明函數(shù)的單調(diào)性可以用定義證明，也可以用導(dǎo)數(shù)證明．本例證明f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，用導(dǎo)數(shù)證，只須證明f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，用定義證，由于f(x)有兩個(gè)不同類(lèi)型的項(xiàng)，作差后可分別處理討論符號(hào)．證明：方法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x10，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，答案：C答案：(－1,

6、1)A．b0，則f(x)的定義域是________；(2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(2)首先0

7、1、x2且x10，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又∵x>0時(shí)，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，即f(x2)0時(shí)，f(x)>1，且對(duì)任意的a，b∈R