復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法

《復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法摘要：在復(fù)變函數(shù)的分析理論中，復(fù)積分是研究解析函數(shù)的重要工具，解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都要利用復(fù)積分來表述和證明的.因此，掌握復(fù)積分的計(jì)算方法對(duì)于學(xué)好復(fù)變函數(shù)至關(guān)重要.本文從不同角度討論了復(fù)變函數(shù)的積分，對(duì)計(jì)算復(fù)積分的幾種方法進(jìn)行了整理、歸類，并以典型的例題加以說明.其屮包括利用定義、牛頓-萊布尼茨公式、柯西積分定理及公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理等計(jì)算復(fù)積分的方法.還重點(diǎn)介紹了運(yùn)用級(jí)數(shù)法、拉普拉斯變換法計(jì)算復(fù)積分和利用對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理計(jì)算復(fù)積分的方法.關(guān)鍵詞：柯西積分定理；柯西積分公式；留數(shù)定理；拉普拉斯變換引言復(fù)變

2、函數(shù)論是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的分支學(xué)科，它的研究對(duì)象是復(fù)變數(shù)的函數(shù).復(fù)變函數(shù)論歷史悠久，內(nèi)容豐富，理論十分完美?它在數(shù)學(xué)許多分支、力學(xué)以及工程技術(shù)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.復(fù)數(shù)起源于求代數(shù)方程的根.復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)?1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程.而比他更早時(shí)，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就己經(jīng)得到了它們.因此，后來人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)冊(cè)貝爾-歐拉方程”.到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”.復(fù)變

3、函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué).當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽彖科學(xué)中最和諧的理論之一.為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū).后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯.二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲?/p>

4、了大量的研究工作，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn).復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的.比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平而場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的.比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn).復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論?它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，

5、對(duì)它們的發(fā)展很有影響.從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了.它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.它曾經(jīng)推動(dòng)過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程?現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用.通過對(duì)復(fù)變函數(shù)發(fā)展歷史的研究，可以更加深入的理解復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容以及基本理論，了解復(fù)變函數(shù)在生活中的具體應(yīng)用以及未來的發(fā)展前景從而更熟練地掌握復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)以及實(shí)際運(yùn)用.很多文獻(xiàn)對(duì)復(fù)變函數(shù)的積分的計(jì)算問題進(jìn)行了討論，

6、參考文獻(xiàn)［1］討論了計(jì)算復(fù)積分的七種常規(guī)計(jì)算方法，如利用定義直接計(jì)算復(fù)積分，利用柯西積分定理以及柯西積分公式求復(fù)積分，用解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式等，參考文獻(xiàn)［2］著重介紹了運(yùn)用留數(shù)定理和輻角定理求解復(fù)積分的方法，參考文獻(xiàn)［3］則主要介紹了通過變量變換、柯西積分公式、柯西積分定理及留數(shù)定理求解的方法，也揭示了諸多方法的內(nèi)在聯(lián)系，參考文獻(xiàn)［4］探析了沿封閉曲線的復(fù)積分計(jì)算方法，參考文獻(xiàn)［5］則介紹了沿不封閉曲線的復(fù)積分的計(jì)算方法.由于解析函數(shù)的特性，形成了豐富的復(fù)積分理論知識(shí)和多種求解方法，以上幾個(gè)文獻(xiàn)都只以有限的篇幅介紹了幾種比較一般的方法，

7、參考文獻(xiàn)［8］重點(diǎn)介紹了利用級(jí)數(shù)法、拉普拉斯變換法及對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理進(jìn)行復(fù)積分計(jì)算的方法，對(duì)常用復(fù)積分計(jì)算方法進(jìn)行了補(bǔ)充，具有一定的技巧性和簡捷之處.從復(fù)變函數(shù)的發(fā)展史以及上述文獻(xiàn)可以看出復(fù)變函數(shù)的重要性，尤其是解決一些實(shí)際問題，與空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)和熱力學(xué)等學(xué)科有關(guān)的一些重要實(shí)際問題，更體現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)中復(fù)積分的重要性?解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)不用復(fù)積分也很難證明的.因此，了解復(fù)變函數(shù)積分，以及能靈活運(yùn)用復(fù)積分計(jì)算方法進(jìn)行復(fù)積分計(jì)算就顯得極其重要?本文對(duì)不同類型的復(fù)變函數(shù)的積分的計(jì)算方法進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)和歸納，并總結(jié)出

8、求解復(fù)積分的一些技巧，這樣，遇到一個(gè)復(fù)積分，我們可以先分析積分的特點(diǎn)，由此特點(diǎn)來選擇合適的方法,方法得當(dāng)，可以使一些復(fù)雜的復(fù)積分計(jì)算變得簡單、快捷，因此該課題具有一定的應(yīng)用價(jià)值.1?復(fù)變函數(shù)積