2、，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1有2個(gè)交點(diǎn)．故選A.]3．橢圓C：＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是( )A．B．C．D．B [設(shè)P(x，y)，直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝·＝＝＝－，因?yàn)閗2∈[－2，－1]，所以k1∈.]4．若橢圓mx2＋ny2＝1與直線x＋y－1＝0交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為( )A．B．C．D．B [由直線x＋y－1＝0，可得y＝－x＋
3、1，代入mx2＋ny2＝1得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.設(shè)A，B的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝.設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為，∴OM的斜率k＝＝，∴＝.]5．橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，若直線y＝kx與其一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b，則k的值為( )A．±1B．±C．±D．±C [因?yàn)闄E圓的離心率為，所以有＝，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2.當(dāng)x＝b時(shí)，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝kb，即交點(diǎn)為(b，kb)，代入橢圓方程
4、＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，選C.]6．直線y＝x－1被橢圓＋y2＝1截得的弦長為________． [聯(lián)立直線與橢圓方程得?5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，∴弦長d＝
5、x1－x2
6、＝×＝.]7．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，
7、
8、＝1，且·＝0，則
9、
10、的最小值是________． [易知點(diǎn)A(3,0)是橢圓的右焦點(diǎn)．∵·＝0，∴⊥.∴
11、
12、2＝
13、
14、2－
15、
16、2＝
17、
18、2－1，∵橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)A的距離最小，故
19、
20、min＝2，∴
21、
22、min＝.]8．已知兩定點(diǎn)A(－1,0)
23、和B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋2上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為________． [A(－1,0)關(guān)于直線l：y＝x＋2的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－2，1)，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則橢圓C的長軸長的最小值為
24、A′B
25、＝＝，所以橢圓C的離心率的最大值為＝＝.]9．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)F1與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且△F2AB的最大面積為，求橢圓的方程．[解] 由e＝得a∶b∶c＝∶1∶1，所以橢圓方程設(shè)為x2＋2y2
26、＝2c2.設(shè)直線AB：x＝my－c，由得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)＝8c2(m2＋1)＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得所以
27、y1－y2
28、＝＝，S＝
29、F1F2
30、
31、y1－y2
32、＝c·2c·＝≤2c2·＝c2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)，即AB⊥x軸時(shí)取等號(hào)，∴c2＝，c＝1，所以，所求橢圓方程為＋y2＝1.10．橢圓＋＝1(a>b>0)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，且⊥(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)求證：
33、＋等于定值；(2)若橢圓的離心率e∈，求橢圓長軸長的取值范圍．[解] (1)證明：橢圓的方程可化為b2x2＋a2y2－a2b2＝0.由消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)＞0得a2＋b2＞1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，即－＋1＝0.∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.∴＋等于定值．(2)∵e＝
34、，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2，又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，即a2＝＝＋.∵≤e≤，∴≤a2≤，即≤a≤，∴≤2a≤，即橢圓長軸長的取值范圍是[，]．[能力提升練]1．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為( )A．3B．2 C．2
