高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法

高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法

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1、Gothedistance第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想高考定位函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想都是重要的數(shù)學(xué)思想,高考對(duì)函數(shù)與方程思想的考查,一般是通過(guò)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題,三角函數(shù)試題、數(shù)列試題或解析幾何試題進(jìn)行考查,重點(diǎn)是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決最大值或者最小值問(wèn)題,通過(guò)方程思想求解一些待定系數(shù)等,對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查,一般體現(xiàn)在填空題中.1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想,是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,從而

2、使問(wèn)題獲得解決的思想方法.(2)方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決的思想方法.2.函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時(shí),就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式.(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要.(3)解析幾何中的許多問(wèn)題,需要通過(guò)解二元方

3、程組才能解決,這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.3.?dāng)?shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:(1)借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的1Gothedistance聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);(2)借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).4.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的

4、代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.?dāng)?shù)學(xué)中的知識(shí),有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.熱點(diǎn)一函數(shù)與方程思想的應(yīng)用[微題型1]運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題217【例1-1】設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+sinx+a-1,已知不等式1≤f(x)≤對(duì)一切4x∈R恒成立,求a的取值范圍.2解f(x)=cosx+sinx+a-12=1-sinx+sinx+a-1?1?21=-?sinx-

5、?+a+.?2?41因?yàn)椋?≤sinx≤1,所以當(dāng)sinx=時(shí),21函數(shù)有最大值f(x)max=a+,4當(dāng)sinx=-1時(shí),函數(shù)有最小值f(x)min=a-2.17因?yàn)?≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立,417所以f(x)max≤且f(x)min≥1,4?117?a+≤,即?44解得3≤a≤4,??a-2≥1,所以a的取值范圍是[3,4].2Gothedistance探究提高(1)在解決不等式問(wèn)題時(shí),一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題;(2)函數(shù)f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般

6、可轉(zhuǎn)化為f(x)min>0或f(x)max<0;已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù),然后利用函數(shù)值域求解.[微題型2]運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問(wèn)題n*【例1-2】已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an+p·3(n∈N,p為常數(shù)),a1,a2+6,a3成等差數(shù)列.(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;2n4(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=,證明:bn≤.an9n(1)解由a1=3,an+1=an+p·3,得a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p.因?yàn)閍1,a2+6,a3成等差數(shù)列,所以a1+a3=2(a2

7、+6),即3+3+12p=2(3+3p+6),n得p=2,依題意知,an+1=an+2×3.1當(dāng)n≥2時(shí),a2-a1=2×3,2n-1a3-a2=2×3,…,an-an-1=2×3.12n-1將以上式子相加得an-a1=2(3+3+…+3),n-13×(1-3)n所以an-a1=2×=3-3,1-3nn所以an=3(n≥2).又a1=3符合上式,故an=3.2nn(2)證明因?yàn)閍n=3,所以bn=n.3222(n+1)n-2n+2n+1*所以bn+1-bn=n+1-n=n+1(n∈N),3331+32若-2n+2n

8、+1<0,則n>,2即當(dāng)n≥2時(shí),有bn+1<bn,144又因?yàn)閎1=,b2=,故bn≤.3993Gothedistance探究提高數(shù)列最值問(wèn)題中應(yīng)用函數(shù)與方程思想的常見(jiàn)類型:(1)數(shù)列中的恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,利用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求解.?an-1≤an,(2)數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問(wèn)題,利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)或不等式組??an≥an+1,?an-1≥

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