高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法

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1、Gothedistance第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想高考定位函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想都是重要的數(shù)學(xué)思想，高考對函數(shù)與方程思想的考查，一般是通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，三角函數(shù)試題、數(shù)列試題或解析幾何試題進(jìn)行考查，重點是通過構(gòu)造函數(shù)解決最大值或者最小值問題，通過方程思想求解一些待定系數(shù)等，對數(shù)形結(jié)合思想的考查，一般體現(xiàn)在填空題中．1．函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而

2、使問題獲得解決的思想方法．(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的思想方法．2．函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＞0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)＞0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式．(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要．(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方

3、程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論．3．?dāng)?shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：(1)借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的1Gothedistance聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；(2)借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．4．在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的

4、代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.熱點一函數(shù)與方程思想的應(yīng)用[微題型1]運用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題217【例1－1】設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤對一切4x∈R恒成立，求a的取值范圍．2解f(x)＝cosx＋sinx＋a－12＝1－sinx＋sinx＋a－1?1?21＝－?sinx－

5、?＋a＋.?2?41因為－1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx＝時，21函數(shù)有最大值f(x)max＝a＋，4當(dāng)sinx＝－1時，函數(shù)有最小值f(x)min＝a－2.17因為1≤f(x)≤對一切x∈R恒成立，417所以f(x)max≤且f(x)min≥1，4?117?a＋≤，即?44解得3≤a≤4，??a－2≥1，所以a的取值范圍是[3，4]．2Gothedistance探究提高(1)在解決不等式問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題；(2)函數(shù)f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般

6、可轉(zhuǎn)化為f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解．[微題型2]運用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題n*【例1－2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝an＋p·3(n∈N，p為常數(shù))，a1，a2＋6，a3成等差數(shù)列．(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項公式；2n4(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝，證明：bn≤.an9n(1)解由a1＝3，an＋1＝an＋p·3，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.因為a1，a2＋6，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2(a2

7、＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，n得p＝2，依題意知，an＋1＝an＋2×3.1當(dāng)n≥2時，a2－a1＝2×3，2n－1a3－a2＝2×3，…，an－an－1＝2×3.12n－1將以上式子相加得an－a1＝2(3＋3＋…＋3)，n－13×（1－3）n所以an－a1＝2×＝3－3，1－3nn所以an＝3(n≥2)．又a1＝3符合上式，故an＝3.2nn(2)證明因為an＝3，所以bn＝n.3222（n＋1）n－2n＋2n＋1*所以bn＋1－bn＝n＋1－n＝n＋1(n∈N)，3331＋32若－2n＋2n

8、＋1＜0，則n＞，2即當(dāng)n≥2時，有bn＋1＜bn，144又因為b1＝，b2＝，故bn≤.3993Gothedistance探究提高數(shù)列最值問題中應(yīng)用函數(shù)與方程思想的常見類型：(1)數(shù)列中的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求解．?an－1≤an，(2)數(shù)列中的最大項與最小項問題，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)或不等式組??an≥an＋1，?an－1≥