分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用開(kāi)題報(bào)告　　　　　

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1、開(kāi)題報(bào)告分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用　　　　　一、選題的背景、意義1．選題的背景在數(shù)學(xué)的矩陣?yán)碚撝校粋€(gè)分塊矩陣或是分段矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣，這些較小的矩陣就稱(chēng)為區(qū)塊。換個(gè)方式來(lái)說(shuō)，就是以較小的矩陣組合成一個(gè)矩陣。分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進(jìn)行劃分。分塊矩陣中，位在同一行（列）的每一個(gè)子矩陣，都擁有相同的列數(shù)（行數(shù)）。通過(guò)將大的矩陣通過(guò)分塊的方式劃分，并將每個(gè)分塊看做另一個(gè)矩陣的元素，這樣之后再參與運(yùn)算，通?？梢宰層?jì)算變得清晰甚至得以大幅簡(jiǎn)化。例如，有的大矩陣可以通過(guò)分塊變?yōu)閷?duì)角矩陣或者是三角矩陣等特殊形式

2、的矩陣。2．選題的意義矩陣的分塊是處理較高階矩陣時(shí)常用的方法，用一些貫穿于矩陣的縱線和橫線將矩陣分成若干子塊，使得階數(shù)較高的矩陣化為階數(shù)較低的分塊矩陣。在運(yùn)算中，我們有時(shí)把這些子塊當(dāng)作元素一樣來(lái)處理，從而簡(jiǎn)化了表示，便于計(jì)算。分塊矩陣初等變換是線性代數(shù)中重要而基本的運(yùn)算，它在研究矩陣行列式、特征值、秩等各種性質(zhì)及求矩陣的逆、解線性代數(shù)方程中有著廣泛的應(yīng)用。因此，如何直接對(duì)分塊矩陣實(shí)行初等變換顯得非常重要，本文的目的就是討論分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用[1]。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題2.1分塊矩陣及其初等變換2.1.1分

3、塊矩陣的定義：將一個(gè)分塊矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多塊的低階矩陣，每一塊低階矩陣稱(chēng)為A的子塊。以子塊為元素的矩陣A稱(chēng)為分塊矩陣。我們將單位矩陣E分塊：，其中Er是ri階單位矩陣(1

4、相同的行數(shù),位于同列的元素有相同的列數(shù).它們的行數(shù)之和構(gòu)成分塊矩陣的行數(shù),列數(shù)之和構(gòu)成分塊矩陣的列數(shù).分塊矩陣的運(yùn)算滿(mǎn)足矩陣的運(yùn)算定義,由于它的特殊性,故此給出各自的定義.·設(shè)A,B為兩個(gè)分塊矩陣,則定義它們的加法為A+B=(Aij+Bij)條件：A,B為同階矩陣而且Aij,Bij也為同階矩陣.·設(shè)A=(Aij)rxt,B=(Bij)txs為兩個(gè)分塊矩陣,則定義它們的乘法為AXB=(Cij)其中的列數(shù)t等于B的行數(shù)而且AijxBij也存在.同樣地,廣義初等變換與廣義初等矩陣可簡(jiǎn)單敘述如下：定義2?廣義初等變換是對(duì)分塊矩陣進(jìn)行以下

5、的變換的統(tǒng)稱(chēng).·交換矩陣的兩行(列)；·將某行(列)左(右)乘可逆矩陣；·將某行(列)左(右)乘矩陣加到另一行(列)上；定義3?設(shè)EnXn為分塊的單位矩陣,對(duì)其進(jìn)行一次廣義初等變換所得到的矩陣稱(chēng)為廣義初等矩陣[4].例子1?廣義初等矩陣具體形式,,廣義初等矩陣(變換)的作用如同一般的初等矩陣(變換),遵守"左行右列"原則.例子2?設(shè)那么,2.1.3分塊矩陣的初等行（列）變換的定義[5]與普通矩陣的初等行變換類(lèi)似，分塊矩陣也有三種類(lèi)型的初等行變換：1.把一個(gè)塊行的左P倍（P是矩陣）加到另一個(gè)塊行上；2.換兩個(gè)塊行的位置；3.用一個(gè)

6、可逆矩陣左乘某一塊行。2.1.4分塊矩陣的初等變換與分塊初等矩陣的關(guān)系把單位矩陣分塊得到的矩陣經(jīng)過(guò)一次分塊矩陣的初等行（列）變換得到的矩陣稱(chēng)為分塊初等矩陣。例如：,,是三種不同類(lèi)型的分塊初等矩陣（其中Q是可逆矩陣）通過(guò)直接計(jì)算可以驗(yàn)證：用分塊初等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣，就相當(dāng)于對(duì)這個(gè)分塊矩陣作了一次相應(yīng)的分塊矩陣的初等行（列）變換。分塊矩陣的初等行（列）變換有直觀的優(yōu)點(diǎn)，用分塊初等矩陣左乘（右乘）一個(gè)分塊矩陣可以得到一個(gè)等式，把兩者結(jié)合起來(lái)可以發(fā)揮出很大的威力。2.1.5分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩[6]由于分塊初等矩陣是

7、可逆矩陣，因此據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)和上述結(jié)論得到：分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩這個(gè)結(jié)論在求矩陣的秩時(shí)很有用。2．2分塊矩陣的相關(guān)應(yīng)用2.2.1利用矩陣分塊的方法計(jì)算行列式[7]利用初等變換可使分塊矩陣的行列式的計(jì)算得到簡(jiǎn)化.為討論分塊矩陣行列式的計(jì)算，先討論分塊初等矩陣的行列式，它們的行列式有下列的計(jì)算公式。引理分塊初等矩陣的行列式有以下性質(zhì)：(1)︱E(i,j)︱=(-1)x，其中i=ri(ri+1+…+rj)+rj(ri+1+…+rj-1),(i

8、P))︱=︱P︱，其中P是ri階可逆矩陣；(3)︱E(j(P),i)︱=1，其中P是rixrj矩陣.定理2設(shè)是一個(gè)分塊矩陣：(1)交換

9、A

10、i,j兩行（列），行列式變?yōu)?-1)x

11、A

12、，其中i=ri(ri+1+…+rj)+rj(ri+1+…+rj-1),(i