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《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.1 等差數(shù)列（第2課時(shí)）等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版必修5》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).2.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)一 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．其中①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來(lái)利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.③即斜率公式k＝，可用來(lái)由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．知識(shí)點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2
2、p，則am＋an＝2ap.知識(shí)點(diǎn)三 由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N＋){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))1．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝kn＋b，則{an}是公差為k的等差數(shù)列．( √ )2．等差數(shù)列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( × )3．若數(shù)列a1，a2，a3，a4，…是等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a3，a5，…也是等差數(shù)列．( √
3、 )4．若數(shù)列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2，a3…是等差數(shù)列．( × )題型一 an＝am＋(n－m)d的應(yīng)用例1 在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式．解 因?yàn)閍8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因?yàn)閍n＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.反思感悟 靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負(fù)擔(dān)．跟蹤訓(xùn)練1 {bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，
4、則b8＝________.答案 8解析 方法一 ∵{bn}為等差數(shù)列，∴可設(shè)其公差為d，則d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二 由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.題型二 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2 已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式．解 方法一 因?yàn)閍1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因?yàn)閍2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋
5、(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，將①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②聯(lián)立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.引申探究1．在例2中，不難驗(yàn)證a1＋a4＋a7＝a2
6、＋a4＋a6，那么，在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？解 設(shè)公差為d，則am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.答案 20解析 ∵
7、a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.反思感悟 解決等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般方法：一是靈活運(yùn)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)；二是利用通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的求解，屬于通用方法；或者兼而有之．這些方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想．跟蹤訓(xùn)練2 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
