布萊克舒爾斯默頓期權定價模型.ppt

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1、第七章布萊克-舒爾斯期權定價模型第一節(jié)數學基礎知識一、標準布朗運動（或維納過程）設代表一個小的時間間隔長度，代表變量z在時間內的變化。如果具有如下兩個基本性質，則是一個標準布朗運動（維納過程）：性質1：與的關系為:其中，，即標準正態(tài)分布中取的一個隨機值。性質2：對于任何兩個不同時間間隔，的值都相互獨立。二、對維納過程的分析從性質1可看出：服從正態(tài)分布，即：方差則為故:從性質2可看出，Z遵循馬爾科夫過程。將時間T分成N等份，則：三、普通布朗運動引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2

2、，就可得到變量x的普通布朗運動其中，a和b均為常數，dz遵循標準布朗運動。四、伊藤過程（ItoProcess）普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數，可以得到伊藤過程其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數，變量x的漂移率為a，方差率為b2。五、伊藤引理若變量x遵循伊藤過程則變量x和t的函數G將遵循如下過程：證明如下：由于G是x和t的函數，根據泰勒展開式：所以再看，很顯然，由于是一個遵循標準正態(tài)分布的隨機變量，故也是一個隨機變量。這樣，伊藤引理的運用六、證券價格變化——幾何布朗運動1、證券

3、價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得：可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：也符合正態(tài)分布2、幾何布朗運動假設的合理性a、收益率與價格水平無關b、收益率波動性與價格水平無關c、收益既有可合理預期部分，又有不可預測部分，符合現實。d、正態(tài)分布：經驗事實證明，股票價格的連續(xù)復利收益率近似地服從正態(tài)分布e、數學上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程，從而與弱式EMH相符。3、證券價格的自然對數變化過程假定，令，由于根據伊藤引理：證券價格對數G遵循普通布朗運動,且4、股票價格服從幾何布朗運動后具

4、有的性質：5、百分比收益率與對數收益率6、波動率σ第二節(jié)B-S-M期權定價公式一、假設二、B-S模型的推導假設證券價格S遵循幾何布朗運動：假設f是依賴于S的衍生證券的價格，則：為了消除，我們可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：在時間后：將前述和代入，有：三、風險中性定價原理四、無收益資產歐式看漲期權的定價公式五、對BS定價公式的理解之一六、對BS定價公式的理解之二七、無收益資產歐式看跌期權的定價公式第三節(jié)BS定價公式的精確度評價BSM期權定價公式在定價方面存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權價格動

5、態(tài)的最佳模型之一，應用廣泛，影響深遠BSM期權定價與市場價格存在差異的主要原因：期權市場價格偏離均衡；使用錯誤的參數；BSM定價公式建立在眾多假定的基礎上BS期權定價公式的缺陷與拓展無交易成本假設的放松常數波動率假設的放松參數假設的放松資產價格連續(xù)變動假設的放松第四節(jié)期權定價的鞅方法一、問題前述B-S微分方程解法很復雜，不實用二、鞅方法的提出是隨機過程的一種，它的顯著特點是未來的期望等于現在。一個隨機過程一般伴隨著一個測度。等價鞅測度即是把不是鞅的隨機過程轉化成鞅的測度。這一測度和原來隨機過程伴隨的測度等價。轉化成鞅后，可是直接采用求數學期望的方法來獲

6、得金融衍生產品的價格，如期權，而不用解偏微分方程了。三、期權定價的鞅方法