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《近世代數(shù)課件--2.7 循環(huán)群.ppt》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、§7.循環(huán)群7.1例子7.2定義7.3基本定理7.4如何研究代數(shù)系統(tǒng)7.1例子例1、n次分園域例2、整數(shù)加群Z.啟示:例1群的元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方。例2也是,這個(gè)群的全體的元就都是1的乘方.這一點(diǎn),假如把G的代數(shù)運(yùn)算不用+而用“”來(lái)表示,就很容易看出.我們知道1的逆元是-1.假定m是任意正整數(shù),那么這樣G的不等于零的元都是1的乘方.但0是G的單位元,照定義定義若一個(gè)群G的每一個(gè)元G都是的某一個(gè)固定元a的乘方,我們就把G叫做循環(huán)群;我們也說(shuō),G是由a元所生成的,并且用符號(hào)來(lái)表示.a(chǎn)叫做G的一個(gè)生成元。7
2、.2定義問(wèn)題:a的任意乘方屬于G嗎?.....,它到底包含多少個(gè)互異的元素?我們?cè)倥e一個(gè)重要的例.例3G包含模n的n個(gè)剩余類.我們要規(guī)定一個(gè)G的代數(shù)運(yùn)算,我們把這個(gè)代數(shù)運(yùn)算叫做加法,并用普通表示加法的符號(hào)來(lái)表示,規(guī)定:……(1)首先,必須證明這樣規(guī)定的“+”不會(huì)產(chǎn)生歧義(復(fù)習(xí)等價(jià)類及剩余類)。,那,照我們的規(guī)定:……(2)如果它們的右端不一樣:,那“+”就不是一種代數(shù)運(yùn)算了。我們將證明這種情形不會(huì)發(fā)生?!?)……(2)(3)(4)所以對(duì)于這個(gè)加法來(lái)說(shuō)G作成一個(gè)群.這個(gè)群叫做模n的剩余類加群,用。
3、以n=4介紹的乘法表7.3基本定理定理:假定G是一個(gè)由元a所生成的循環(huán)群,那么G的構(gòu)造完全可以由a的階來(lái)決定:(1)如果,那么(2),那么例4設(shè),那么設(shè),那么現(xiàn)在回答:循環(huán)群,包含多少個(gè)互異的元素?…….它們和上面的兩種循環(huán)群的例子一致.證明分兩種情況(1)第一個(gè)情形:a的階無(wú)限。構(gòu)造映射,1)…….2)………3)………4)………所以(2)第二種情形:a的階是n.定義映射:,首先,必須證明映射的合理性;其次,1)…….2)………3)………4)………所以7.4如何研究代數(shù)系統(tǒng)I.分類:同構(gòu)的分成同一類,存在及數(shù)量
4、II.每一類的內(nèi)部結(jié)構(gòu)III.表示:對(duì)于循環(huán)群的存在問(wèn)題,數(shù)量問(wèn)題,構(gòu)造問(wèn)題都已能解答,循環(huán)群已完全在我們的掌握之中.這一節(jié)的研討是近世代數(shù)的研討的一個(gè)縮影.在近世代數(shù)里,不管是在群論里還是在其它部門里,我們研究一種代數(shù)系統(tǒng)就是要解決這一種系統(tǒng)的存在問(wèn)題,數(shù)量問(wèn)題和構(gòu)造問(wèn)題.假如我們對(duì)于這三個(gè)問(wèn)題能得到如同我們對(duì)于循環(huán)群所得到的這樣完美的解答,我們的目的就算達(dá)到了.作業(yè):P61:3-5