極坐標(biāo)與參數(shù)方程總結(jié)與習(xí)題.docx

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1、極坐標(biāo)教案3.2極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)的任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位及它的方向．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點，在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)、對應(yīng)惟一點P(，)，但平面內(nèi)任一個點P的極坐標(biāo)不惟一．一個點可以有無數(shù)個坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點除外）的全部

2、坐標(biāo)為(,＋)或（，＋），(Z)．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點與坐標(biāo)是一多對應(yīng)的．即一個點的極坐標(biāo)是不惟一的．3、直線相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：⑴⑵⑶⑷⑸⑹4、圓相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：⑴⑵⑶⑷⑸⑹5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：191．直線的極坐標(biāo)方程若直線l經(jīng)過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，求直線l的極坐標(biāo)方程。設(shè)直線l上任意一點的坐標(biāo)為P(ρ，θ)，由正弦定理，得：=整理得直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ?α)=ρ0sin(θ0?α)。一些特殊位置的直線方程如下：經(jīng)過極點經(jīng)過定點

3、M(a，0)，且與極軸垂直經(jīng)過定點M(b，)，且與極軸平行θ=αρcosθ=aρsinθ=bxO(M)lαxOlMaxOlM(b，)a2．圓的極坐標(biāo)方程MPρρ0θ0θOx若圓的圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，求圓的極坐標(biāo)方程。設(shè)P(ρ，θ)為圓上任意一點，由余弦定理，得PM2=OM2+OP2?2OM·OPcos∠POM，則圓的極坐標(biāo)方程是ρ2?2ρ0ρcos(θ?θ0)+?r2=0一些特殊位置的圓的方程如下(設(shè)圓的半徑為r)：圓心在極點圓心在極點右側(cè)圓心在極點上方圓心在極點左側(cè)圓心在極點下方ρ=rρ=2rcosθρ=2rsinθρ=?2rcosθρ=?2rsinθxOxOxOOxxO（一

4、）曲線的參數(shù)方程的定義：19在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即　　并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1．過定點（x0，y0），傾角為α的直線：　?。╰為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點P（x0，y0）為起點，對應(yīng)于t點M（x，y）為終點的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點P與點M間的有向距離．根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論．．設(shè)A、B是直線上任意兩點，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則＝＝．．線段AB的中點所對應(yīng)的參數(shù)值等于

5、．2．中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：　?。閰?shù)）3．中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的橢圓：　　　?。閰?shù)）　?。ɑ颉。┲行脑邳c（x0,y0）焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4．中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的雙曲線：　　　?。閰?shù)）　?。ɑ颉。?．頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：　?。╰為參數(shù)，p＞0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是　?。╰為參數(shù)）．19【乘積用的】極坐標(biāo)的點與直角坐標(biāo)系的點的互化：1．已知，下列所給出的不能表示點的坐標(biāo)的是（）AA．B．C．D．2．下列各點中與極坐標(biāo)不表示同一個點的極坐標(biāo)

6、是（　　）　BＡ．　?。拢　。茫　。模?．點，則它的極坐標(biāo)是（）CA．B．C．D．1．點的極坐標(biāo)為。2．若A，B，則

7、AB

8、=_________，__________。（其中O是極點）[5，6；]5．將直角坐標(biāo)Ｐ化為極坐標(biāo)　　　　　　　　　　。16.已知三點A(5，)，B(-8，)，C(3，)，則ΔABC形狀為.銳角三角形17.點，則它的極坐標(biāo)是極坐標(biāo)方程的軌跡1．的底邊以B點為極點，BC為極軸，求頂點A的軌跡方程。1、（提示：用正弦定理解△ABC，）２．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑=1，Q點在圓C上運動。（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若P在直線OQ上運動，且OQ∶QP=2∶3

9、，求動點P的軌跡方程。2、（1）；（2）19（提示：設(shè)P，Q（，依題意得：，代入可得。）17．在平面直角坐標(biāo)系中已知點A（3，0），P是圓上一個運點，且的平分線交PA于Q點，求Q點的軌跡的極坐標(biāo)方程。解:以O(shè)為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè),19題型：一、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化互化條件：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同.互化公式：或θ的象限由點(x,y)所在的象限確定.例1(2