極坐標(biāo)與參數(shù)方程總結(jié)與習(xí)題.docx

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1、極坐標(biāo)教案3.2極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線(xiàn)Ox，叫做極軸，再選一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?。?duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用ρ表示線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個(gè)要素：①極點(diǎn)；②極軸；③長(zhǎng)度單位；④角度單位及它的方向．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一．一個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部

2、坐標(biāo)為(,＋)或（，＋），(Z)．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的．即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的．3、直線(xiàn)相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：⑴⑵⑶⑷⑸⑹4、圓相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：⑴⑵⑶⑷⑸⑹5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：191．直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線(xiàn)的角為α，求直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程。設(shè)直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(ρ，θ)，由正弦定理，得：=整理得直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ?α)=ρ0sin(θ0?α)。一些特殊位置的直線(xiàn)方程如下：經(jīng)過(guò)極點(diǎn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

3、M(a，0)，且與極軸垂直經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(b，)，且與極軸平行θ=αρcosθ=aρsinθ=bxO(M)lαxOlMaxOlM(b，)a2．圓的極坐標(biāo)方程MPρρ0θ0θOx若圓的圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，求圓的極坐標(biāo)方程。設(shè)P(ρ，θ)為圓上任意一點(diǎn)，由余弦定理，得PM2=OM2+OP2?2OM·OPcos∠POM，則圓的極坐標(biāo)方程是ρ2?2ρ0ρcos(θ?θ0)+?r2=0一些特殊位置的圓的方程如下(設(shè)圓的半徑為r)：圓心在極點(diǎn)圓心在極點(diǎn)右側(cè)圓心在極點(diǎn)上方圓心在極點(diǎn)左側(cè)圓心在極點(diǎn)下方ρ=rρ=2rcosθρ=2rsinθρ=?2rcosθρ=?2rsinθxOxOxOOxxO（一

4、）曲線(xiàn)的參數(shù)方程的定義：19在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即　　并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線(xiàn)上，那么方程組就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)．（二）常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程如下：1．過(guò)定點(diǎn)（x0，y0），傾角為α的直線(xiàn)：　　（t為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P（x0，y0）為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段PM的數(shù)量，又稱(chēng)為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離．根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論．．設(shè)A、B是直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則＝＝．．線(xiàn)段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于

5、．2．中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：　?。閰?shù)）3．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的橢圓：　　　?。閰?shù)）　?。ɑ颉。┲行脑邳c(diǎn)（x0,y0）焦點(diǎn)在平行于x軸的直線(xiàn)上的橢圓的參數(shù)方程4．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的雙曲線(xiàn)：　　　　（為參數(shù)）　?。ɑ颉。?．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線(xiàn)：　?。╰為參數(shù)，p＞0）直線(xiàn)的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0），傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程是　?。╰為參數(shù)）．19【乘積用的】極坐標(biāo)的點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的互化：1．已知，下列所給出的不能表示點(diǎn)的坐標(biāo)的是（）AA．B．C．D．2．下列各點(diǎn)中與極坐標(biāo)不表示同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)

6、是（　?。Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　?。模?．點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（）CA．B．C．D．1．點(diǎn)的極坐標(biāo)為。2．若A，B，則

7、AB

8、=_________，__________。（其中O是極點(diǎn)）[5，6；]5．將直角坐標(biāo)Ｐ化為極坐標(biāo)　　　　　　　　　　。16.已知三點(diǎn)A(5，)，B(-8，)，C(3，)，則ΔABC形狀為.銳角三角形17.點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是極坐標(biāo)方程的軌跡1．的底邊以B點(diǎn)為極點(diǎn)，BC為極軸，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。1、（提示：用正弦定理解△ABC，）２．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑=1，Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)。（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若P在直線(xiàn)OQ上運(yùn)動(dòng)，且OQ∶QP=2∶3

9、，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。2、（1）；（2）19（提示：設(shè)P，Q（，依題意得：，代入可得。）17．在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)A（3，0），P是圓上一個(gè)運(yùn)點(diǎn)，且的平分線(xiàn)交PA于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程。解:以O(shè)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè),19題型：一、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化互化條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，長(zhǎng)度單位相同.互化公式：或θ的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確定.例1(2