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《自然數(shù)來源于實(shí)踐人們首先認(rèn)識(shí)自然數(shù).doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、1.4 自然數(shù)自然數(shù)來源于實(shí)踐．人們首先認(rèn)識(shí)自然數(shù)，然后是分?jǐn)?shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，但怎樣把這些數(shù)的性質(zhì)抽象出來，再像幾何學(xué)那樣將其公理化，卻是一個(gè)復(fù)雜的任務(wù)．做這樣工作的當(dāng)然有很多數(shù)學(xué)家，其中一位得到公認(rèn)的意大利數(shù)學(xué)家皮阿羅，他把自然數(shù)一個(gè)接著一個(gè)，不間斷的性質(zhì)抽象出來，形成以下公理．定義1.16任何一個(gè)非空集合Ｎ的元素叫做自然數(shù)．如果在這個(gè)集合中，對(duì)于某些元素，存在關(guān)系后面，或者后面的數(shù)<后面的數(shù)用表示），滿足下面公理：b5E2RGbCAPＡ．存在一個(gè)數(shù)１，它不在任何數(shù)的后面，即對(duì)任何數(shù)．Ｂ．對(duì)于任意數(shù)，存在且僅存
2、在一個(gè)它后面的數(shù)，即若Ｃ．若Ｄ．<歸納公理）具有下面性質(zhì)的自然數(shù)的任何集合M若滿足<1）；<2）如果屬于M，則它后面的數(shù)也屬于M．則集合Ｍ含有一切自然數(shù)，即Ｍ＝Ｎ．也許有人說自然數(shù)的上述定義不那么好，因?yàn)榘凑斩x，任何滿足上述定義的都是自然數(shù)集合，因而自然數(shù)集合就不只一個(gè)．p1EanqFDPw例如上述集合也滿足自然數(shù)定義，但所有滿足定義的集合彼此是同構(gòu)的，因而可以等同看待．定義1.17 如果數(shù)b在的后面，我們稱的前元，的后繼元．根據(jù)自然數(shù)定義中的公理(1>，數(shù)１沒有前元．下面我們證明自然數(shù)中只有１沒有前元，其他元素均有前元．
3、定理1.10 任何一個(gè)不等于１的數(shù)均有前元，而且僅有一個(gè)．證明 設(shè)集合Ｍ是含有１和至少有一個(gè)前元的所有數(shù)的集合，則(1>；(2>如果，則<因?yàn)橛星霸晒恚?，?N,即所有自然數(shù)<除１外）均有前元，再由公理Ｃ，前元是惟一的．DXDiTa9E3d定理1.11 若，則，若，則．證明 由公理Ｂ和Ｃ即得結(jié)論．定理1.12 對(duì)于任何自然數(shù)，均有．證明 設(shè)Ｍ是所有具有性質(zhì)的元素的集合．由公理Ａ，１沒有前元，所以若，則．則<由定理1.11得出）．5/5所以．再由公理(4>，Ｍ＝Ｎ，即所有自然數(shù)均有．前面我們給出了自然數(shù)的定義及其若干性
4、質(zhì)，下面我們給出自然數(shù)的加法與乘法定義，并給出相應(yīng)這些運(yùn)算的性質(zhì)，當(dāng)然自然數(shù)也有減法與除法，但這里不再給出．RTCrpUDGiT定義1.18 自然數(shù)的加法是指這樣的對(duì)應(yīng)：由于它，對(duì)于每一對(duì)自然數(shù)與b，有且僅有一個(gè)自然數(shù)與之對(duì)應(yīng)，而且具有以下性質(zhì)：5PCzVD7HxA(1>對(duì)于任意自然數(shù)有(2>對(duì)于任意自然數(shù)與b有由上述定義中(１>和(２>兩個(gè)條件不難看出，實(shí)際已把所有自然數(shù)的加法結(jié)果給出，因?yàn)椋保保剑保В保玻?１＋１>＇＝３，…由此得出所有１＋k，至于其他自然數(shù)的相加也不難歸納得出．但是上述自然數(shù)加法定義是否合理，也就是
5、說，這一個(gè)運(yùn)算是否Ｎ×Ｎ→Ｎ的映射，這就需要證明．下面我們證明上述的加法對(duì)應(yīng)關(guān)系是Ｎ×Ｎ→Ｎ的映射．jLBHrnAILg加法定義合理性證明．證明 對(duì)任意與b，令是這樣的對(duì)應(yīng)對(duì)于固定的，令設(shè)Ｍ是這樣數(shù)b的集合，它使是惟一確定元素．因?yàn)?，?duì)于固定的是惟一的，所以．若，則是惟一的，即是惟一的，所以也是惟一的，所以，所以Ｍ＝Ｎ．由是任意的，所以是Ｎ×Ｎ→Ｎ的映射，即上述定義是一個(gè)代數(shù)運(yùn)算．現(xiàn)在我們給出自然數(shù)加法的一些簡(jiǎn)單運(yùn)算性質(zhì)，這些性質(zhì)都是根據(jù)加法定義給出的．］定理1.13 加法的結(jié)合律證明 設(shè)選定了兩個(gè)數(shù)與b，Ｍ是所有這樣數(shù)c的
6、集合，對(duì)于它們結(jié)合律成立，即．5/5(1>所以．(2>若，則所以所以，所以Ｍ＝Ｎ，即所有自然數(shù)滿足結(jié)合律．定理1.14 加法的交換律證明 首先證明對(duì)使用歸納公理，設(shè)Ｍ是使成立的的集合，則(1>．(2>若，則所以．由歸納公理ＤＭ＝Ｎ其次我們?cè)賹?duì)b使用歸納公理(4>，對(duì)固定的，設(shè)Ｍ是等式成立的元素b的集合．(1>．(2>若，則所以，由歸納公理ＤＭ＝Ｎ下面再給出兩個(gè)自然數(shù)有關(guān)性質(zhì)，同時(shí)給出自然數(shù)的有序性質(zhì)．定理1.15 對(duì)于任意數(shù)與b證明 定理對(duì)b=1成立，因?yàn)椋O(shè)Ｍ是使的元素b的集合，則(1>，若，所以，即Ｍ＝Ｎ．定理1.16
7、對(duì)于任何兩個(gè)自然數(shù)與b，下面三種情況中有一種且僅有一種成立．(1>(2>(3>5/5證明 定理中(1>和(2>不能同時(shí)成立，(1>和(3>也不能同時(shí)成立<由定理1.15得出）．假如(2>與(3>同時(shí)成立，則，這又與定理1.15矛盾，所以上述三種情形不能同時(shí)成立兩個(gè)．下面我們證明上述三種情況成立一種且僅成立一種．對(duì)于固定的，設(shè)M是這樣數(shù)b的集合，它使上述三種情況只成立一種．當(dāng)時(shí)，，情況(1>成立．當(dāng)，而b=1時(shí)：由定理1.10，，情況(2>成立，所以．現(xiàn)在我們?cè)O(shè)，當(dāng)情況(1>成立時(shí)，，所以，即情況(3>對(duì)成立．若和k=1，則，
8、情況(1>對(duì)成立．若，則情況(2>對(duì)成立．當(dāng)情況(3>成立時(shí)，情況(3>對(duì)成立．所以無論怎樣(1>，(2>，(3>對(duì)與只成立一種，所以，Ｍ＝Ｎ．由定理1.16顯然可以規(guī)定出自然數(shù)的大小順序.定義19 如果給定的兩個(gè)自然數(shù)與b存在一個(gè)數(shù)k，使得則稱大于b，b小于，記為，或由定理1.16顯然可
