分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在唯一性.pdf

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1、倡2013年5月安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）May．2013第19卷第2期JournalofAnqingTeachersCollege（NaturalScienceEdition）Vol．19No．2網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：２０１３－５－３０１６：４８　網(wǎng)絡(luò)出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３４．１１５０．Ｎ．２０１３０５３０．１６４８．００２．ｈｔｍｌ分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在唯一性吳婷，孫琳（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥２３００３９）摘要：利用Ｓｃｈａｅｆｅｒ不動(dòng)點(diǎn)定理、壓縮映像原理和Ｈ迸ｄｅｒ不等式，

2、討論了一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的三點(diǎn)邊值問題，得出了此類邊值問題的解的存在性和唯一性的兩個(gè)充分條件。關(guān)鍵詞：邊值問題；不動(dòng)點(diǎn)定理；存在性；唯一性中圖分類號(hào)：Ｏ１７５．８文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Ａ文章編號(hào)：１００７－４２６０（２０１３）０２－０００４－０５微分方程邊值問題的研究歷史悠久，從之前的常微分方程發(fā)展到如今的廣泛被研究的分?jǐn)?shù)階微分方程。隨著分?jǐn)?shù)階微分方程理論的不斷發(fā)展，有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的性質(zhì)的研究有著比較［３－８］［３－６］豐富的結(jié)果，如分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的正解和多點(diǎn)邊值問題的解。近年來，分?jǐn)?shù)階微分方［２］程在物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)

3、以及控制理論等領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用，但從實(shí)際問題抽象出來的方程有可能是較為復(fù)雜的含積分的分?jǐn)?shù)階微分方程，從而對(duì)分?jǐn)?shù)階積分微分方程的研究尤為必要。文獻(xiàn)［７］和［８］已經(jīng)研究了一類含積分的分?jǐn)?shù)階微分方程的解的相關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，本文主要考慮如下非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程三點(diǎn)邊值問題CαDu（t）＝f（t，u（t），（Su）（t）），t∈J＝［０，T］０＋（１）u（０）＝au（η），u（T）＝bu（η）解的存在性和唯一性，其中１＜α≤２，０＜a＜１，０＜b＜１，η∈（０，T），f∶J×R×R→R，且S是第一型Ｆｒｅｄｈｏｌｍ積分算子，定義為t（Su

4、）（t）＝∫k（t，s）u（s）ｄs０t＋其中k∈（J×J，R），另記γ＝ｍａｘ｛∫k（t，s）ｄs∶（t，s）∈J×J｝。０本文首先給出有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分方程的基本概念和準(zhǔn)備知識(shí)，其次將邊值問題（１）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程，最后，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理得到解的存在性和唯一性的兩個(gè)充分條件。１　預(yù)備知識(shí)［２］定義函數(shù)y∶（０，＋∞）→R的α階Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分?jǐn)?shù)階積分為tα１α－１I０＋y（t）＝∫（t－s）y（s）ｄsΓ（α）０其中，α＞０，Γ（·）為Ｇａｍｍａ函數(shù)。［２］引理１若u∈C（０，０）∩L（０，１）有n階導(dǎo)數(shù)屬于C（０，０）∩L（

5、０，１），則αCα２n－１I０＋D０＋u（t）＝u（t）＋c１＋c２t＋c３t＋?＋cntci∈R，i＝１，２，?，n，其中n＝［α］＋１。倡收稿日期：２０１２－１０－３０基金項(xiàng)目：教育部博士點(diǎn)基金（２０１１３４０１１１０００１）和安徽省自然科學(xué)基金（１３０８０８５ＭＡ０１）資助。作者簡(jiǎn)介：吳婷，女，安徽省安慶人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向：微分方程。第２期吳婷，孫琳：分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在唯一性··５引理２　假設(shè)函數(shù)h∈C（J，R），則函數(shù)u是分?jǐn)?shù)階積分方程tη１α－１c［（b－a）t＋aT］α－１u（t）＝∫（t－s）

6、h（s）ｄs＋∫（η－s）h（s）ｄs－Γ（α）０Γ（α）０Tc［（１－a）t＋aη］α－１∫（T－s）h（s）ｄsΓ（α）０的解，當(dāng)且僅當(dāng)是下述分?jǐn)?shù)階邊值問題CαDu（t）＝h（t），１＜α≤２，t∈J０＋（２）u（０）＝au（η），u（T）＝bu（η）－１的解，其中c＝［η（a－b）＋T（１－a）］＞０。證明由引理１，先將（２）式轉(zhuǎn)化成等價(jià)的積分方程αu（t）＝Ih（t）＋c１＋c２t，c１，c２∈R０＋由邊值條件u（０）＝au（η），u（T）＝bu（η）得ηTacTα－１acηα－１c１＝∫（η－s）h（s）ｄs－∫（T－s）h（s）ｄsΓ（

7、α）０Γ（α）０ηTc（b－a）α－１c（１－a）α－１c２＝∫（η－s）h（s）ｄs－∫（T－s）h（s）ｄsΓ（α）０Γ（α）０－１其中c＝［η（a－b）＋T（１－a）］＞０。因此，tη１α－１c［（b－a）t＋aT］α－１u（t）＝∫（t－s）h（s）ｄs＋∫（η－s）h（s）ｄs－Γ（α）０Γ（α）０Tc［（１－a）t＋aη］α－１∫（T－s）h（s）ｄsΓ（α）０對(duì)于可測(cè)函數(shù)m∶J→R，定義其范數(shù)為１pp（∫｜m（t）｜ｄt），０≤p＜∞‖m‖＝JLp（J，R）ｉｎｆ｛ｓｕｐ｜m（t）｜｝，p＝∞μ（J）＝０t∈J－Jp其中μ（J）是J上

8、的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ測(cè)度，L（J，R）表示所有Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可測(cè)函數(shù)m∶J→R構(gòu)成的Ｂａｎａｃｈ空間且‖m‖＜∞。Lp（J