貝塞爾函數(shù)釋疑.doc

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1、數(shù)理方程中與貝塞爾函數(shù)有關(guān)的問題據(jù)百度百科介紹：貝塞爾（1784——1846）是德國天文學家，數(shù)學家，天體測量學的奠基人。20歲時發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測量的論文。1810年任新建的柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。1812年當選為柏林科學院院士。貝塞爾的主要貢獻在天文學，以《天文學基礎(chǔ)》（1818）為標志發(fā)展了實驗天文學，還編制基本星表，測定恒星視差，預言伴星的存在，導出用于天文計算的貝塞爾公式，較精確地計算出歲差常數(shù)等幾個天文常數(shù)值，還編制大氣折射表和大氣折射公式，以修正其對天文觀測的影響。他在數(shù)學研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一

2、系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學和天文學的有關(guān)問題提供了重要工具。此外，他在大地測量學方面也做出一定貢獻，提出貝塞爾地球橢球體等觀點。（圖片來自維基百科）一、貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)二、貝塞爾方程與歐拉方程比較三、貝塞爾函數(shù)與伽馬函數(shù)四、貝塞爾函數(shù)與幾個常用函數(shù)的臺勞級數(shù)比較右圖來自網(wǎng)頁“維基百科——自由的百科全書”中貝塞爾函數(shù)介紹。貝塞爾函數(shù)的一個實例：一個緊繃的鼓面在中心受到敲擊后的二階振動振型，其振幅沿半徑方向上的分布就是一個貝塞爾函數(shù)（考慮正負號）。實際生活中受敲擊的鼓面的振動是各階類似振動形態(tài)的疊加一、貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)

3、Bessel方程是二階線性變系數(shù)齊次常微分方程其中，v是常數(shù)，稱為Bessel方程的階（不一定是整數(shù)），可取任何實或復數(shù)。該方程的解無法用初等函數(shù)表現(xiàn)。數(shù)理方程教科書采用第一類Bessel函數(shù)和第二類Bessel函數(shù)的線性組合表示方程的標準解函數(shù)。貝塞爾函數(shù)也被稱為圓柱函數(shù)或圓柱諧波。通常所說的貝塞爾函數(shù)是指第一類Bessel函數(shù)貝塞爾方程是在圓柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式；在球域問題中得到的是半奇數(shù)階形式），因此貝塞爾函數(shù)在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有

4、非常重要的地位，典型的問題有：在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；圓柱體中的熱傳導問題；圓形（或環(huán)形）薄膜的振動模態(tài)分析問題；在其他一些領(lǐng)域，貝塞爾函數(shù)也相當有用。如在信號處理中的調(diào)頻合成（FMsynthesis）或凱澤窗（Kaiserwindow）的定義中，都要用到貝塞爾函數(shù)。在教科書中Bessel方程來源1．在圓柱坐標系下解二維熱傳導方程；用分離變量法，令u(x，y，t)=V(x，y)T(t)，代入方程整得由此得兩個方程，其中，一階常微分方程的通解為而另一個是圓域上Laplace算子的固有值問題，在極坐標系下再一次使用分離變量法，令，

5、代入方程整理得由此得兩個方程，第一個二階常微分方程的通解為引入周期邊值條件，得。所以固有值，(n=0，1，2，……)固有函數(shù)系為，，(n=1，2，……)將固有值代入第二個常微分方程，得令，，則方程轉(zhuǎn)化為標準的整數(shù)階貝塞爾方程2．圓柱坐標系下解二維波動方程；用分離變量法，令u(x，y，t)=V(x，y)T(t)，代入方程整得由此得兩個方程，第一個是圓域上Laplace算子的固有值問題，與熱傳導問題類似可得整數(shù)階貝塞爾方程3．在圓柱坐標系下解三維拉普拉斯方程或亥姆霍夫方程。圓域上亥姆霍茲方程邊值問題用分離變量法，令，代入方程整理得由此得兩

6、個方程，第一個二階常微分方程的通解為引入周期邊值條件，得。所以固有值，(n=0，1，2，……)固有函數(shù)系為，，(n=1，2，……)將固有值代入第二個常微分方程，得令，，則方程轉(zhuǎn)化為標準的整數(shù)階貝塞爾方程?二、貝塞爾方程與歐拉方程比較歐拉方程也是一類二階線性變系數(shù)齊次常微分方程。該方程的二階導數(shù)項和一階導數(shù)項表達式與貝塞爾方程相同。不同的是，貝塞爾方程中函數(shù)項系數(shù)為變系數(shù)，歐拉方程中函數(shù)項系數(shù)為常數(shù)。貝塞爾方程只能求出級數(shù)形式的解，即使是零階貝塞爾方程歐拉方程可以通過自變量變換成為線性常系數(shù)常微分方程。作變換：，即，未知函數(shù)的導數(shù)為代入

7、微分方程，得方程化簡為：，該方程有初等函數(shù)表達式的通解。?三、貝塞爾函數(shù)與伽馬函數(shù)1．正整數(shù)階貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)的階數(shù)v不一定是整數(shù)。引入伽馬函數(shù)使表達式簡化，但有一絲神秘當階數(shù)為正整數(shù)時，貝塞爾函數(shù)可寫成零階貝塞爾函數(shù)還有一種是積分形式（可用于數(shù)值計算實驗）2．負整數(shù)階貝塞爾函數(shù)由于自變量為負值時，伽馬函數(shù)的值趨于正無窮大，所以負整數(shù)階貝塞爾函數(shù)中對于m

8、的形式做為定義是正整數(shù)階乘函數(shù)的推廣。其中，s可以取正實數(shù)也可以取實部為正的復數(shù)。幾個簡單性質(zhì)如下：（1）．；（2）．；事實上（3）．事實上令，則上式化為概率積分（4）．當伽馬函數(shù)的自變量為負值時，無窮積分發(fā)散。即由于à