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1、2.2.2Newton插值法2.2.3等距節(jié)點(diǎn)插值公式我們知道,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為形式上太復(fù)雜,計(jì)算量很大,并且重復(fù)計(jì)算也很多由線性代數(shù)的知識(shí)可知,任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以表示成共n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合那么，是否可以將這n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？華長(zhǎng)生制作2顯然，多項(xiàng)式組線性無(wú)關(guān)，因此，可以作為插值基函數(shù)華長(zhǎng)生制作3有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜為此引入差商和差分的概念華長(zhǎng)生制作4一、差商(均差)定義1.稱依此類(lèi)推華長(zhǎng)生制作5差商具有如下性質(zhì)(請(qǐng)同學(xué)們自證)：顯然華長(zhǎng)生制作6(2)差商具有對(duì)稱性,即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序,差商的值不變?nèi)缬糜囗?xiàng)的相同證明華長(zhǎng)生制
2、作7差商的計(jì)算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chashang.m華長(zhǎng)生制作8xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例1求f(xi)=x3在節(jié)點(diǎn)x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計(jì)算得如下表華長(zhǎng)生制作9二、Newton基本插值公式設(shè)插值多項(xiàng)式滿足插值條件則待定系數(shù)為華長(zhǎng)生制作10稱定義3.由插值多項(xiàng)式的唯一性,Newton基本插值公式的余項(xiàng)為為k次多項(xiàng)式華長(zhǎng)生制作11因此可得下面推導(dǎo)余項(xiàng)的另外一種形式華長(zhǎng)生制作12因此一般Newton插值估計(jì)誤差的重要公式另外華長(zhǎng)生制作13kxk
3、f(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24華長(zhǎng)生制作142.2.3等距節(jié)點(diǎn)插值公式定義.華長(zhǎng)生制作15依此類(lèi)推可以證明如華長(zhǎng)生制作16差分表華長(zhǎng)生制作17在等距節(jié)點(diǎn)的前提下,差商與差分有如下關(guān)系華長(zhǎng)生制作18依此類(lèi)推華長(zhǎng)生制作19由差商與向前差分的關(guān)系Newton插值基本公式為如果假設(shè)1.Newton向前(差分)插值公式華長(zhǎng)生制作20則插值公式化為其余項(xiàng)化為華長(zhǎng)生制作21稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項(xiàng)為華長(zhǎng)生制作22插值余項(xiàng)為根據(jù)向前差分和向后差分的關(guān)系如果假設(shè)可得Newton向后插值公式
4、2.Newton向后(差分)插值公式華長(zhǎng)生制作23例4設(shè)x0=1.0,h=0.05,給出在處的函數(shù)值如表2-5的第3列，試用三次等距節(jié)點(diǎn)插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238………………41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214表2-5華長(zhǎng)生制作24解用Newton向前插值公式
5、來(lái)計(jì)算f(1.01)的近似值。先構(gòu)造與均差表相似的差分表，見(jiàn)表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得用Newton向后插值公式計(jì)算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得事實(shí)上，f(1.01)和f(1.28)的真值分別為1.00498756和1.13137085。由此看出，計(jì)算結(jié)果是相當(dāng)精確的。例2.5已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-6的第2列，分別用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。華長(zhǎng)生制作250.40.389420.50.479430.090010.60.564640.085210.0048
6、00.70.644220.07958-0.00563-0.00083xsinx△△2△3表2-6解作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,則t=(x-x0)/h=0.7891,即sin0.57891≈0.54714。誤差為華長(zhǎng)生制作26若用Newton向后插值公式，則可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是即sin0.57891≈0.54707。誤差為華長(zhǎng)生制作27
