《數值分析插值法》PPT課件

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1、在工程技術與科學研究中，常會遇到函數表達式過于復雜而不便于計算，且又需要計算眾多點處的函數值；或已知由實驗（測量）得到的某一函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]中互異的n+1個xi(i=0,1,...,n)處的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),需要構造一個簡單易算的函數P(x)作為y=f(x)的近似表達式y(tǒng)=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)這類問題就稱為插值問題，P(x)稱為插值函數，P(x)一般取最簡單又便于計算得函數。第2章插值法x0x1x2x3x4xP(x)?f(x)f(x)

2、y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它點P(x)?f(x)=y2.1.1插值問題設y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的一個實函數,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1個互異實數,已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一個次數不超過n的多項式Pn(x)使其滿足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)(5-1)這就是多項式插值問題.2.1引言其中Pn(x)稱為f(x)的n次插值多項式,f(x)稱為被插函數,xi(i=0,1,...,n)稱為插值

3、節(jié)點,(xi,yi)(i=0,1,…,n)稱為插值點,[a,b]稱為插值區(qū)間,式(5-1)稱為插值條件。從幾何意義來看,上述問題就是要求一條多項式曲線y=Pn(x),使它通過已知的n+1個點(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).即P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai為實數，就稱P(x)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值，若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值，若P(x)為三角多項式,就稱為三角插值，本章只討論插值多項式與分段插值。本章主要研究如何求出插值多項式，分段插值函數

4、，樣條插值函數；討論插值多項式P(x)的存在唯一性、收斂些及誤差估計等。定理1設節(jié)點xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次數不超過n的多項式存在且唯一.證設所求的插值多項式為Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關于系數a0,a1,…,an的線性代數方程組2.1.2插值多項式的存在性和唯一性此方程組有n+1個方程,n+1個未知數,其系數行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由

5、克萊姆法則知方程組(5-3)的解存在唯一.證畢。考慮最簡單、最基本的插值問題.求n次插值多項式li(x)(i=0,1,…,n),使其滿足插值條件2.2.1基函數可知,除xi點外,其余都是li(x)的零點,故可設Lagrange法1736-18132.2拉格朗日插值其中A為常數,由li(xi)=1可得稱之為拉格朗日基函數,都是n次多項式。n=1時的一次基函數為:y1Oxy1Ox即已知函數f(x)在點x0和x1點的函數值y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性函數L(x)=a0+a1x使?jié)M足條件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此為

6、兩點線性插值問題或用直線的兩點式表示為：插值基函數的特點：x0x1l010l1011x0x1l0l1記n=2時的二次基函數為:可知其滿足2.2.2拉格朗日插值多項式利用拉格朗日基函數li(x),構造次數不超過n的多項式稱為拉格朗日插值多項式,再由插值多項式的唯一性,得特別地,當n=1時又叫線性插值,其幾何意義為過兩點的直線.當n=2時又叫拋物（線）插值,其幾何意義為過三點的拋物線.注意:(1)對于插值節(jié)點,只要求它們互異,與大小次序無關;以xi(i=0,1,…,n)為插值節(jié)點,函數f(x)?1作插值多項式,由插值多項式的唯一性即得基函

7、數的一個性質(2)插值基函數li(x)僅由插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)確定,與被插函數f(x)無關;(3)插值基函數li(x)的順序與插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)的順序一致.這是因為若取?(x)=xk(k=0,1,…,n),由插值多項式的唯一性有特別當k=0時,就得到所以例1已知用線性插值(即一次插值多項式)求的近似值?；瘮捣謩e為:解插值多項式為()例2求過點(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的拋物線插值(即三次插值多項式).解以以為節(jié)點的基函數分別為:則拉格朗日的三次插值多項式為截斷誤差Rn(x)=f

8、(x)-Ln(x)也稱為n次Lagrange插值多項式的余項。以下為拉格朗日余項定理。定理2設f(x)在區(qū)間[a,b]上存在n+1階導數,xi∈[a,b](i=0,1,…,n)為n+1個互異節(jié)點,則對任何x∈[a,b],