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《數(shù)值分析牛頓插值法.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、2.2.2Newton插值法2.2.3等距節(jié)點插值公式我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復雜,計算量很大,并且重復計算也很多由線性代數(shù)的知識可知,任何一個n次多項式都可以表示成共n+1個多項式的線性組合那么，是否可以將這n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？華長生制作2顯然，多項式組線性無關，因此，可以作為插值基函數(shù)華長生制作3有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜為此引入差商和差分的概念華長生制作4一、差商(均差)定義1.稱依此類推華長生制作5差商具有如下性質(請同學們自證)：顯然華長生制作6(2)差商具有對稱性,即任意調換節(jié)點的次序,差商的值不變如用余項的相同證明華長生制
2、作7差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chashang.m華長生制作8xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例1求f(xi)=x3在節(jié)點x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計算得如下表華長生制作9二、Newton基本插值公式設插值多項式滿足插值條件則待定系數(shù)為華長生制作10稱定義3.由插值多項式的唯一性,Newton基本插值公式的余項為為k次多項式華長生制作11因此可得下面推導余項的另外一種形式華長生制作12因此一般Newton插值估計誤差的重要公式另外華長生制作13kxk
3、f(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24華長生制作142.2.3等距節(jié)點插值公式定義.華長生制作15依此類推可以證明如華長生制作16差分表華長生制作17在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關系華長生制作18依此類推華長生制作19由差商與向前差分的關系Newton插值基本公式為如果假設1.Newton向前(差分)插值公式華長生制作20則插值公式化為其余項化為華長生制作21稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項為華長生制作22插值余項為根據(jù)向前差分和向后差分的關系如果假設可得Newton向后插值公式
4、2.Newton向后(差分)插值公式華長生制作23例4設x0=1.0,h=0.05,給出在處的函數(shù)值如表2-5的第3列，試用三次等距節(jié)點插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238………………41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214表2-5華長生制作24解用Newton向前插值公式
5、來計算f(1.01)的近似值。先構造與均差表相似的差分表，見表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得用Newton向后插值公式計算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得事實上，f(1.01)和f(1.28)的真值分別為1.00498756和1.13137085。由此看出，計算結果是相當精確的。例2.5已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-6的第2列，分別用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。華長生制作250.40.389420.50.479430.090010.60.564640.085210.0048
6、00.70.644220.07958-0.00563-0.00083xsinx△△2△3表2-6解作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,則t=(x-x0)/h=0.7891,即sin0.57891≈0.54714。誤差為華長生制作26若用Newton向后插值公式，則可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是即sin0.57891≈0.54707。誤差為華長生制作27
