數(shù)值分析課件 插值法.pdf

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1、第四章插值法實(shí)際問(wèn)題中，y=f(x)表達(dá)式復(fù)雜多樣，有時(shí)只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)（函數(shù)值或?qū)?shù)值）；或者f()f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算，也經(jīng)常構(gòu)造函數(shù)表，如三角函數(shù)表.任務(wù)：用能夠反映f(x)特性且便于計(jì)算的近似函數(shù)p(x)近似代替f(x).一個(gè)自然的想法是：希望p(x)通過(guò)所有的已知點(diǎn).p(x)≈f(x)x0x1x2xx3x4定義（點(diǎn)插值）：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]x∈[,]ab上有定義，已知n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)i上的函數(shù)值y=f(x),(i=0,1,?,n).iiΦ為某一給定函數(shù)類，求Φ上的函數(shù)?()x滿足主要信息：(被)插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)，插值條件問(wèn)題：?選取

2、哪一類函數(shù)？?如何構(gòu)造？?解是否存在唯一？?誤差估計(jì)4.1多項(xiàng)式插值的一般提法最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式2nΦ=Ρ=span{1,x,x,?x}={np(x)=a+ax+?+ax,a∈R,i=1,2?,n}.n01ni求n次多項(xiàng)式pxPn()∈,使?jié)M足：p(x)=y,i=0,1,?,n.nii由插值條件，系數(shù)ai滿足線性方程組：?na+ax+?+ax=y?010n00?na+ax+?+ax=y?011n11???na+ax+?+ax=y?01nnnnVandermonde行1?n列式1x0V(x,?,x)=???=∏x?x≠0,0nijn0≤1?j

3、一，即插值多項(xiàng)式存在唯一。問(wèn)題：病態(tài)方程組，n越大越病態(tài)4.2Lagrange插值定義：若n次多項(xiàng)式l(x)(i=0,1,?,n)在n+1i個(gè)節(jié)點(diǎn)a≤x

4、=(j0nj=0ω()x則lx()=i()()xx?ω'(()x)ii注n注：span{1,x,?,x}=span{l(x),l(x),?,l(x)}.01nLagrange插值多項(xiàng)式，存在唯一n令LlLni()xy=?li()xi=0=++lxylxy()()...+lxy()0011nn則L(x)=y=f(x),i=0,1,?,n.niii?線性插值（n＝1）xx?xx?10lx()=,lx()=,01xx?xx?0110L()x=+ylx()ylx()10011L(x)y=f(x)1y1y0R(x)1x0x1?二次插值（n=2）()xxxx??()12lx()=,

5、0()xxxx??()0102()xxxx??()02lx()=,1()xxxx??()1012()xxxx??()01lx()=,2()xxxx??()2021Lx()=++yyyylx()ylx()ylx().2001122πππ113例414.1：已知siiiin,===sin,sin,624232分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50sin50°.05π50=18解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計(jì)算x0x1x2ππ?利用x=,x=L(x)=x?π/4×1+x?π/6×101164π/6?π/42π/4?π/62?5πsin50≈

6、≈L1()0.77614,?sin50°=0.7660444…18外推/*extrapoltilation*/的實(shí)際誤差≈?0010010.01001?利用x=π,x=πsin50sin50°≈0.76008,1243內(nèi)插/*interpolation*/的實(shí)際誤差≈0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇需計(jì)算的x所在區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好n=2()x??ππ()x143Lx()=×2()ππππ??()26463()xx??ππ()13()xx??ππ()6364+×+×()ππππ??()2()ππππ??()246433634?5πsin50≈≈L2()07654

7、3)0.76543,?sin50°=0.7660444…182次插值的實(shí)際誤差≈0000610.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值434.3插值余項(xiàng)截?cái)嗾`差R()x=?f()xLx().nn定理：設(shè)函數(shù)f()x在[a,b]上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則?∈x[,],ab有(1n+)f()ξRxfxLx()=?=()()ω()x，nn(1n+)!n其中，ω()x=?∏(xxj),ξ∈(,)ab與x有關(guān).j=0證明：R(x)=f(x)?L(x)=0,i=0,1,?,n,niini令R(x)=k(x)(x?x)?(x?x)=k(x)ω(x).n0n?