數(shù)值分析中的（插值法）

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1、§8三次樣條插值§2Lagrange插值§1引　　言§7分段低次插值§6Hermite插值§5差分與等距節(jié)點插值公式§4均差與Newton插值公式§3逐次線性插值法(自學)§9評　　述第二章插值法數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編上的函數(shù)值，即已知函數(shù)表例：設在實際問題中，某些變量之間的函數(shù)關系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由實驗、觀測得到在一系列離散點第一節(jié)引言一、一個實例那么如何計算？數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編設y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的一個實函數(shù),xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1個互異實

2、數(shù),稱為節(jié)點。已知y=f(x)在點xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一簡單函數(shù)P(x)，滿足P(xi)=yi(i=0,1,...,n)(2.1－1)二、插值問題的一般性提法即簡單函數(shù)P(x)的曲線要經(jīng)過上已知的n+1個點數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編同時在其它點上估計誤差為YX●●●●●·數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編若p(x)是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式,即（2.1－2）則稱p(x)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值。若p(x)為分段多項式，就是分段插值。若p(x)為三角多項式，就是三角插值,還有

3、有理插值等。本章主要討論多項式插值與分段插值。注：插值法還有其他許多用途，如函數(shù)的近似表示；曲線曲面擬合；導出其它數(shù)值方法的依據(jù)（導出數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解）等。數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編若滿足條件的存在，又如何構造？三、多項式插值問題中需要研究的問題滿足插值條件的多項式是否存在？唯一？用近似代替的誤差估計？數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編定理1設節(jié)點xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件Pn(xi)=yi的次數(shù)不超過n的多項式存在且唯一。下面先研究第一個問題定理1不僅解決了問題1，其證明過程也給出了

4、問題2——求插值多項式的一種方法。但一般不用這種方法，因為范得蒙矩陣一般是病態(tài)的。即使求解過程是精確的，多項式求值的誤差也是可觀的。數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編拉格朗日插值多項式的優(yōu)缺點截斷誤差拉格朗日插值多項式數(shù)值實例第二節(jié)拉格朗日插值數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編一、拉格朗日插值多項式其中1.兩個互異節(jié)點(x0,y0),(x1,y1)且滿足：數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編2.三個節(jié)點(x0,y0),(x1,y1)，(x3,y3)其中：令滿足：數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編3.有n+

5、1個互異節(jié)點(x0,y0),(x1,y1)…(xn,yn)顯然：設：我們稱n次多項式Ln(x)為拉格朗日插值多項式，Li(x)為插值基函數(shù)。顯然滿足(2.2－1)取插值條件數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編注：（1）插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)僅由插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)確定,與被插函數(shù)f(x)無關.（3）對于插值節(jié)點,只要求它們互異,與大小次序無關。（2）以xi(i=0,1,…,n)為插值節(jié)點,函數(shù)f(x)?1作插值多項式,則由插值多項式的唯一性立即得到基函數(shù)的一個性質數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編數(shù)

6、值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編關于截斷誤差Rn(x)=f(x)-Ln(x)有下面定理。定理2設f(x)在區(qū)間[a,b]上存在n+1階導數(shù),xi?[a,b](i=0,1,…,n)為n+1個互異節(jié)點,則對任何x?[a,b],有且與x有關)二、截斷誤差（插值余項）數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編證由插值條件和?n+1(x)的定義,當x=xk時,式子顯然成立。且x0,x1,…,xn都是函數(shù)?n+1(x)的零點,也是Rn(x)的零點，從而Rn(x)可表示為其中K(x)是待定函數(shù)。對于任意固定的x?[a,b],x?xk,構造自變量t的輔助

7、函數(shù)數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編由式?n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0,x1,?,xn和x是?(t)在區(qū)間[a,b]上的n+2個互異零點,因此根據(jù)羅爾(Rolle)定理,至少存在一點?=?(x)?(a,b),使即所以數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編注：1.余項表達式只有在高階導數(shù)存在時才能使用。2.ξ在（a，b）內的具體位置通常不能給出。3.一般說來，外插比內插效果差。4.數(shù)值分析　第二章　插值法李慶揚　王能超　易大義編例已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0

8、.333487,sin0.36=0.352274,用