數(shù)值分析課件 第2章 插值法

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1、第二章插值法在科學(xué)研究與工程技術(shù)中，常常遇到這樣的問題：由實驗或測量得到一批離散樣點，要求作出一條通過這些點的光滑曲線，以便滿足設(shè)計要求或進(jìn)行加工。反映在數(shù)學(xué)上，即已知函數(shù)在一些點上的值，尋求它的分析表達(dá)式。此外，一些函數(shù)雖有表達(dá)式，但因式子復(fù)雜，不易計算其值和進(jìn)行理論分析，也需要構(gòu)造一個簡單函數(shù)來近似它。解決這種問題的方法有兩類：一類是給出函數(shù)的一些樣點，選定一個便于計算的函數(shù)形式，如多項式、分式線性函數(shù)及三角多項式等，要求它通過已知樣點，由此確定函數(shù)作為的近似，這就是插值法；另一類方法在選定近

2、似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過已知樣點，只要求在某種意義下在這些樣點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（數(shù)據(jù)）擬合法。設(shè)已知區(qū)間上的實值函數(shù)在個相異點處的函數(shù)值60，要求構(gòu)造一個簡單函數(shù)作為函數(shù)的近似表達(dá)式使得(2-1)這類問題稱為插值問題。稱為被插值函數(shù)；為插值函數(shù)；為插值節(jié)點；(2-1)為插值條件。若插值函數(shù)類是代數(shù)多項式，則相應(yīng)的插值問題為代數(shù)插值。若是三角多項式，則相應(yīng)的插值問題稱為三角插值。若是有理分式，則相應(yīng)的插值問題稱為有理插值?！?Lagrange插值1.1Lagrange插值多項

3、式設(shè)函數(shù)在個相異點上的值是已知的，在次數(shù)不超過的多項式集合中，求使得(2-2)60定理1存在惟一的多項式滿足插值條件(2-2)。證明我們采用構(gòu)造性的證明方法。假如我們能夠構(gòu)造出次多項式，使得(2-3)那么(2-4)是滿足插值條件(2-2)的插值多項式。余下的問題就是如何構(gòu)造出滿足式(2-3)的次多項式。由于當(dāng)時，，即是的零點，因此必然具有形式60又因，故，因此(2-5)至于多項式的惟一性是極其簡單的事實，只要注意到次多項式且有零點這一事實。公式稱為Lagrange插值公式，相應(yīng)的稱為Lagrang

4、e插值多項式，稱為節(jié)點上的次插值基函數(shù)。令，由插值多項式的存在惟一性可得(2-6)由(2-6)知，任取，那么均可用60線性表出。由此看出，就是。在(2-6)中取，則。為了今后的需要，我們引入以下記號(2-7)容易求得并有，將其代入插值基函數(shù)的表達(dá)式于是插值公式可寫為(2-8)601.2插值余項及估計稱為Lagrange插值多項式的余項.定理2設(shè)，且在內(nèi)存在，是以為插值節(jié)點函數(shù)的Lagrange插值多項，則對內(nèi)的任意點，插值余項為(2-9)證明對上任意的點，且，構(gòu)造輔助函數(shù)顯然，又由插值條件可知，故

5、函數(shù)在內(nèi)至少有個零點。根據(jù)羅爾（Rolle）定理，函數(shù)在內(nèi)至少存在60個零點，反復(fù)應(yīng)用羅爾（Rolle）定理，可以得出在內(nèi)至少存在一個零點，設(shè)為，即由于所以有證畢。推論1設(shè)，在上存在，則有(2-10)其中。證明對上任意的，可設(shè)屬于的一個子區(qū)間，由此可以得出60從而有此不等式與式(2-9)相結(jié)合有由此可得到估計式(2-10)。證畢。例1已給,,用線性插值及拋物線插值計算的值，并估計截斷誤差。解由題意取用線性插值計算，取及，由公式(2-4)得60其截斷誤差由(2-9)得其中。因，可取，有用拋物插值計算

6、。由公式(2-4)得有60這個結(jié)果與6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明用二次插值精度已相當(dāng)高了.其截斷誤差限由(2-9)得其中，于是§2均差與Newton插值公式2.1均差及其性質(zhì)Lagrange插值公式結(jié)構(gòu)緊湊和形式簡單，在理論分析中甚為方便。但Lagrange插值公式也有其缺點，當(dāng)插值節(jié)點增加、減少或其位置變化時，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，從而整個插值公式的結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化，這在實際計算中是非常不利的。Newton插值公式可以克服這個缺點，定義1稱為60關(guān)于點的一階均差。為關(guān)于點的二階均

7、差。一般地，有了階均差之后，稱(2-11)為關(guān)于點的階均差（差商）。均差有如下的基本性質(zhì)：性質(zhì)1各階均差具有線性性，即若，則對任意正整數(shù)，都有性質(zhì)2階均差可表示成的線性組合，即這個性質(zhì)可用歸納法證明。它也表明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，稱為均差的對稱性。60性質(zhì)3設(shè)，并且，為相異節(jié)點，那么的階均差與其階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系2.2牛頓插值多項式由各階均差的定義，依次可得將以上各式分別乘以，然后相加并消去兩邊相等的部分，即得60其中(2-12)(2-13)顯然，是至多次的多項式。而由即得。這表明滿足插值條件(

8、2-2)，因而它是的次插值多項式。這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。Newton插值的優(yōu)點是：每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，即60因此便于遞推運算。而且Newton插值的計算量小于Lagrange插值。由插值多項式的唯一性知，次Newton插值多項式與Lagrange插值多項式是相等的，即，它們只是形式的不同。因此Newton與Lagrange余項也是相等的，即由此可得性質(zhì)3。式(2-13)表示的余項稱為均差型余項。由式(2-9)表示的余項稱為微分型余項。作出