數(shù)學(xué)小課題研究教學(xué)案例數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)性研究課題牛奶盒的包裝

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數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)性研究課題牛奶盒的包裝一、課題的確定牛奶盒的包裝問題雖然比較簡單，卻包含了重要的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生對這個問題進(jìn)行思考探究，應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題將有力地促進(jìn)學(xué)生問題意識與解決問題能力的發(fā)展。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方體和正方體的特征及表面積、體積計(jì)算，有了一定的知識基礎(chǔ)。以牛奶盒的打包問題為研究素材，學(xué)生非常熟悉，難度不高，研究的同時也為節(jié)能減排盡自己的一份努力，所以學(xué)生非常高興地接受了任務(wù)，能積極地參與研究。二、課題的布置與指導(dǎo)將研究任務(wù)布置給全班同學(xué)。六個人一個小組，哪個小組找到了解決問題的辦法及時跟老師匯報(bào)。

1剛開始，多數(shù)學(xué)生找不到研究的突破口，無從下手。于是，我引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：要把大小不同的長方體包裝起來，需要的包裝紙一樣大嗎？為什么？學(xué)生說不一樣大，大的長方體用的包裝紙多，小的用的包裝紙少，因?yàn)榇蟮拈L方體表面積大，用的包裝紙就大。學(xué)生經(jīng)過啟發(fā)后，豁然開朗。這是一個根本性的問題：怎樣包裝最省材料，其實(shí)就是在思考，怎樣組合表面積最小的問題。這樣學(xué)生就由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個具體的數(shù)學(xué)問題來考慮了。學(xué)生接下來只需研究不同形狀長方體的表面積大小。廣泛聽取同學(xué)們的研究匯報(bào)，給于適當(dāng)?shù)墓膭詈捅頁P(yáng)，并作一定的指導(dǎo)。學(xué)生匯報(bào)的研究方案主要有以下四種：一是從露在外面的面的大小多少來考慮；二是從隱藏面的角度來思考；三是采用實(shí)際測量的方法，計(jì)算出具體表面積；四是從組合的角度來分析思考。對于學(xué)生匯報(bào)中出現(xiàn)的問題作了如下指導(dǎo)。一個小組通過觀察研究發(fā)現(xiàn)：每個大面都是由不同的小面組成的，數(shù)一數(shù)露在外面多少個面就能知道哪一種情況最省包裝。我進(jìn)一步引導(dǎo)他們，組成六個大面的那些小面都是一樣的嗎？有幾種？既然每一種組合都有三種不同的面，又怎么去比較大小呢？教師一層層的去引導(dǎo)，學(xué)生的研究便有了一步步地深入。一個小組的同學(xué)在觀察單個奶盒、兩個奶盒組合、三個奶盒組合時發(fā)現(xiàn)：組合時有些面隱藏了，而且，隱藏的面積越大，露在外面的面積，也就是表面積就會越小。我進(jìn)一引導(dǎo)他們動手操作，實(shí)際驗(yàn)證自己的想法，并且在操作的過程中注意發(fā)現(xiàn)問題，注意總結(jié)規(guī)律。

2一個小組的同學(xué)考慮到，包裝是不是最省，看的是表面積，就應(yīng)該直接測量出幾種不同的包裝方式的長、寬、高，而后計(jì)算出它們各自的表面積，再進(jìn)行比較，就知道哪一種最節(jié)省。當(dāng)他們有了初步的結(jié)果時，我又引導(dǎo)他們對幾種組合方式以及它們各自的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，他們小組最后發(fā)現(xiàn)：體積一定，越接近正方體，表面積就越小。還有一個小組的同學(xué)考慮到了組合的方式，超出了我的預(yù)料，因?yàn)榭紤]到組合沒有學(xué)，并且比較難，所以只是要求他們：得出什么結(jié)果或有什么發(fā)現(xiàn)及時匯報(bào)，但他們研究的深度令我驚嘆。我根據(jù)研究情況定出匯報(bào)小組，幫助他們整理研究成果，并作展示交流前的指導(dǎo)，以便在課上匯報(bào)時，其它學(xué)生聽得更明白。三、課堂教學(xué)實(shí)錄（一）課前情境鋪設(shè)，充分調(diào)動學(xué)生研究熱情課前用1分鐘的時間讓學(xué)生觀看“保護(hù)森林的環(huán)保小短片與利樂包裝小資料”。小資料：瑞典的利樂包裝公司是一家跨國公司，生產(chǎn)液體包裝盒，包裝牛奶或其它飲料一類的液體飲品。它們的產(chǎn)品2002年在中國達(dá)到了77億包，2004年在中國就超過了125億包，2005年在全球就達(dá)到了1200億包。師：如果按目前24盒一箱，請同學(xué)們口算一下1200億包該有多少箱？生：1200除以24，有50億箱。師：假如一箱奶能節(jié)約1平方厘米，那么這50億箱將能節(jié)約50億平方厘米，多么龐大的一個數(shù)呀！

3師：聯(lián)系剛才的短片和小資料，你有什么想說的？用一句話來概括。生1：紙大多是用木材造出來的，我們應(yīng)該節(jié)約用紙、保護(hù)森林。生2：人類不能再這樣破壞環(huán)境了！師：看得出，大家的責(zé)任心都比較強(qiáng)，也都有節(jié)能環(huán)保的意識，這非常好。這節(jié)課，就讓我們積極地投入到研究當(dāng)中，為節(jié)約、環(huán)保，盡我們的一份力量?！驹u析：提供生活素材，真實(shí)可信，引發(fā)學(xué)生對社會生產(chǎn)問題的關(guān)注，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，為提出包裝問題做好鋪墊?！浚ǘ┱n上匯報(bào)展示，啟迪思維，適時點(diǎn)評，完善方案師：對于牛奶盒怎么包裝最節(jié)省，課下有幾個小組的同學(xué)已經(jīng)做了一些初步的研究，現(xiàn)在請他們向大家匯報(bào)。1、第一小組匯報(bào)生1：同學(xué)們，大家好！在我們匯報(bào)之前，先請同學(xué)們看一下我手里的一個牛奶盒，六個面分三類：大面、中面、小面。課下我們小組研究發(fā)現(xiàn)，打包的問題也就是求組合圖形表面積的問題，而組合起來的六個面，是由幾個大面、幾個中面和幾個小面構(gòu)成的。所以對于不同的包裝方式，數(shù)出它有幾個大面、幾個中面和幾個小面，然后對比一下就知道誰用的包裝更節(jié)省了。

4生2：下面我用4個牛奶盒給大家具體演示一下。?（牛奶盒站立，從上面看）數(shù)數(shù)有幾個面構(gòu)成：圖形1圖形24個大面??????????????????????2個大面4個中面???????????PK???????8個中面8個小面??????????????????????8個小面8個小面相互抵消，2個大面抵消，4個中面抵消，這樣組合圖形1只剩2個大面，組合圖形2只剩4個中面。4個中面的面積是大于2個大面的，所以組合圖形1節(jié)省，“勝”。生3：目前市場上牛奶的包裝是：1×3×8（1層/一排擺3盒/擺8排）的組合方式，有6個大面、16個中面、48個小面；我們觀察發(fā)現(xiàn)?2×3×4（2層/一排擺3盒/擺4排）的組合方式，有12個大面、16個中面、24個小面。這兩種方式的大、中、小面對比抵消部分后，剩24個小面對比6個大面，即4個小面對比1個大面，很明顯后者更省。學(xué)生質(zhì)疑：剛才你們組的第二位同學(xué)說“4個中面的面積大于2個大面”，你們是怎么知道的？小組解釋：4個中面的面積對2個大面，相當(dāng)于2個中面對1個大面，這樣，我拿2個中面與1個大面放在一起做一下對比，不就一目了然了嗎？

5學(xué)生評價(jià)：他們小組是從表面積入手，研究了面的組成，用了科學(xué)的“對比”處理方法，研究得比較透，展示也有一定的順序，PK的方式很幽默。（掌聲）2、第二小組匯報(bào)生1：大家好！課下我們在研究有多少種包裝方法時發(fā)現(xiàn)，很不好找，其主要原因：一是種數(shù)比較多且較復(fù)雜；二是很容易重復(fù)或遺漏。其它小組在研究時也存在同樣的問題，并且我們還發(fā)現(xiàn)以前做過研究的小組，它們當(dāng)初所做的種數(shù)統(tǒng)計(jì)也是不全對的。所以，我們重點(diǎn)思考、研究了怎樣數(shù)出包裝的種數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)：任意一種包裝方式都會隱藏一些不同的面。于是，我們就從這個方面入手，觀察記錄，最終找到了這種既不會重復(fù)又不會遺漏的方法！生2：下面，我們以4個牛奶盒為例做詳細(xì)說明：1.隱藏6個大面；2.隱藏6個中面；3.隱藏6個小面；4.隱藏4個大面4個中面；5.隱藏4個大面4個小面；6.隱藏4個中面4個小面。（一個同學(xué)講解，另一同學(xué)配合擺牛奶盒）4個牛奶盒會有6種不同的打包方式。我們這樣，既不會重復(fù)也不會遺漏。大家覺得我們用的這個方法是不是很好呢？我們用這種方法做了一個表：2345678910……24

6物體個數(shù)打包種數(shù)336393969……現(xiàn)在，我們只是研究到11，剩下的我們小組課后會繼續(xù)研究完成。生2：通過對表的觀察，我們發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：凡是盒數(shù)是質(zhì)數(shù)的包裝方式都只有3種。超過一盒的組合包裝，其包裝方式的種數(shù)都是3的倍數(shù)，不過我們不太敢肯定，還正在驗(yàn)證當(dāng)中。生3：對于24盒的包裝，我們是從整體的角度來思考的。將目前1×3×8的包裝，從中間切開，就形成了2個大的長方體，然后把一半放到另一半的上面，這樣雖然切時多出了2個面，卻隱藏了另外的2個更大的面，大家通過我們的對比很容易就能發(fā)現(xiàn)。所以，我們認(rèn)為采用我們現(xiàn)在包裝方式會更節(jié)省?！驹u析：盡管這兩個小組研究的角度不一樣，但看得出學(xué)生在課下進(jìn)行過深入的研究，做過反復(fù)的驗(yàn)證，他們投入的程度如此之高，合作的如此密切，令人贊嘆?！?/p>

7學(xué)生評價(jià)：很有創(chuàng)意，研究得比較深。研究成果講解得比較清楚，容易理解，特別是第三位同學(xué)將新組合的看成一個整體，再去比較它的大、中、小面，一看就能明白，很好！只是你們課下還需要進(jìn)一步完成你們的研究。師評：從你們小組的研究匯報(bào)當(dāng)中，我發(fā)現(xiàn)了兩個閃光點(diǎn)：一是能從復(fù)雜的現(xiàn)象當(dāng)中找到規(guī)律，找到了數(shù)包裝種數(shù)的科學(xué)的方法，做到不重不漏，很不簡單；二是你們分析現(xiàn)象后，敢于根據(jù)現(xiàn)象做出一定的設(shè)想或推理，再試圖證實(shí)你們的這一猜想。這正是科學(xué)發(fā)明創(chuàng)造所必備的，真了不起！在這里，我給你們指出你們研究成果中的一個錯誤，奶盒的個數(shù)是8個的打包種數(shù)是10種，而不是你們找到的9種，請你們課下再驗(yàn)證，這樣你們猜想的“打包的種數(shù)都是3的倍數(shù)”就出現(xiàn)了特殊，特殊現(xiàn)象的背后一定隱藏著特殊原因，祝愿你們能有所發(fā)現(xiàn)。3、第三小組匯報(bào)生1：大家好，先看我們組做的一個實(shí)驗(yàn)。我們小組用8個體積為1立方厘米的小正方體擺成三種不同的物體，分別是兩個長方體，一個正方體。他們的表面積分別是34平方厘米，28平方厘米，24平方厘米。它們的體積都是8

8立方厘米，隨形狀接近正方體，它們的表面積在逐漸減少，用其它數(shù)目的做也是這樣。由此我們得出結(jié)論：體積相同的物體，形狀越接近正方體，它的表面積就越小，就越節(jié)省材料。生2：因此，我們想到24盒裝牛奶的打包問題，我們認(rèn)為它并不是最接近正方體的一種，于是我們就對其進(jìn)行了測量。廠家包裝的牛奶長為33厘米，寬19.5厘米，高10.5厘米。計(jì)算得出表面積為2389.5平方厘米。我們小組研究的包裝方法是：擺2層，每層12盒，每層排成3×4的形式，測量后得出：長19.5厘米，寬16.5厘米，高21.5厘米，計(jì)算出表面積是2191.5平方厘米。相差198平方厘米。由此可見，我們的擺法形狀更接近正方體，要比廠家節(jié)省材料。所以說廠家的打包并不是最節(jié)省材料的。（投影顯示）（33×19.5+33×10.5+19.5×10.5）×2=1194.75×2=2389.5（平方厘米）（19.5×16.5+19.5×21.5+16.5×21.5）×2=1095.75×2=2191.75（平方厘米）相差：2389.5-2191.5=198(平方厘米)學(xué)生質(zhì)疑：我也做了測量進(jìn)行了計(jì)算，不過我記得好像的要比你們的還節(jié)省。小組解釋：那不可能，或許你記錯了。因?yàn)槲覀冃〗M反復(fù)對比測量，并用計(jì)算器進(jìn)行了檢驗(yàn)，應(yīng)該是對的。

9……師：課后請你們共同進(jìn)行驗(yàn)證，找到問題出在哪兒。學(xué)生評價(jià)：他們小組是通過直接測量的方法，用數(shù)據(jù)說明，簡單易懂，并且算出了具體節(jié)省了多少。師：新的包裝方式可節(jié)省198平方厘米！再給它乘上50億，將是多么龐大的一個數(shù)，看來我們的研究真的很有必要?！驹u析：學(xué)生的計(jì)算精準(zhǔn)，方法明確，有理有據(jù)，說明課前學(xué)生的確做了大量的研究和繁雜的計(jì)算，課中也進(jìn)行了充分的研究、討論，這正是我們進(jìn)行科學(xué)研究所需要的。在教學(xué)過程中我們不僅要關(guān)注學(xué)生的研究成果，更要關(guān)注學(xué)生在研究過程中獲得的成功、樂趣和不畏困難的精神?！?、第四小組匯報(bào)生1：大家好！我發(fā)現(xiàn)前兩個小組的同學(xué)都是從簡單的情況開始研究的，而我們的不是，我們直接考慮了24的組成。24的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24這八個，用它們表示長寬高的個數(shù)時，就會有以下六種組合：（1，1，24）（1，2，12）（1，3，8）（1，4，6）（2，2，6）（2，3，4）因?yàn)榕Ｄ毯械睦忾L不一樣，有三種：長、寬、高各不相同。這樣每一種組合再與長、寬、高進(jìn)行搭配時，又會產(chǎn)生幾種情況。下面我們以（2，3，4）與（長，寬，高）的搭配為例，來做說明：2個長的時候，會有3個寬、4個高或3個高、4

10個寬這兩種情況；3個長的時候，會有2個寬、4個高或2個高、4個寬這兩種情況；4個長的時候，會有2個寬、3個高或2個高、3個寬這兩種情況。（2，3，4）時，會有6種擺法。其它，（1，1，24）時，會有3種擺法。????（1，2，12）時，會有3種擺法。（1，3，8）時，會有3種擺法。??。?，4，6）時，會有3種擺法。（2，2，6）時，會有3種擺法。最后我們計(jì)算得出：24盒牛奶有21種擺法。生2：上一個小組的同學(xué)已經(jīng)說過“體積一定的前提下，越接近正方體表面積就越小”。我們組一致認(rèn)為：（2，3，4）搭配中的2個長、3個寬、4個高，這種情況最省包裝。因?yàn)榕Ｄ毯械拈L寬高相差不大，而2、3、4三個數(shù)相差也不大。所以，最小的數(shù)乘最長的棱長，最大的數(shù)乘最短的棱長，中間的數(shù)乘中等的棱長，它們的乘積就會比較的接近，也就是最省包裝的方式了?！驹u析：學(xué)生能夠運(yùn)用各種組合的方法，做到不遺漏，不重復(fù)，有意識、有目的地進(jìn)行推理、驗(yàn)證，并給出嚴(yán)密、令人信服的解釋說明?！繉W(xué)生評價(jià)：你們研究得挺深的，不太好懂，不過大體上還算明白。

11師評：是不太好懂。他們小組能想到搭配組合的方法很不簡單，因?yàn)檫@是在高中才能學(xué)到的排列組合問題，他們在課下一定是進(jìn)行了大量的操作和觀察，才得出了這么科學(xué)的方法。我真為你們感到驕傲！在這里，我想給你們提出一個問題供你們思考：2、3、4這三個數(shù)不一樣，在與長、寬、高進(jìn)行搭配時會有6種不同情況，那1、3、8這三個數(shù)也不相同，在與長、寬、高進(jìn)行搭配時怎么只有3種不同情況呢？而2、2、6這三個數(shù)當(dāng)中有兩個數(shù)一樣，在與長、寬、高進(jìn)行搭配時又會出現(xiàn)什么情況呢？請課下接著研究思考，并及時與我交流?！驹u析：教師適時合理評價(jià)，恰切的引導(dǎo)，使得到表揚(yáng)的同學(xué)獲得了成功感，同時引出下面的內(nèi)容，自然平和，水到渠成?！浚ㄈ┙處熆偨Y(jié)，肯定成績，提出新任務(wù)。師總結(jié)：同學(xué)們都帶著一份較強(qiáng)的責(zé)任心和節(jié)能環(huán)保的意識，積極投入到我們的研究課題，值得提倡和表揚(yáng)，特別是研究小組成員，其研究匯報(bào)的水平有了很大的提高，希望大家繼續(xù)努力。1、我在課下也做了一個表，希望各小組用你們的好的方法幫我查正。123456789101112

12奶盒個數(shù)打包種數(shù)3363931069315奶盒個數(shù)131415161718192021222324打包種數(shù)39918318321883302、根據(jù)課上大家的交流討論，課下完善各自的方案，形成研究報(bào)告，張貼到班內(nèi)的學(xué)習(xí)園地。3、以全班師生的名義，給利樂、蒙牛、伊利發(fā)一封倡議書，附上我們的研究說明，為節(jié)能、環(huán)保盡我們的一份力量！【評析

13：教師把課前自己的研究結(jié)論展示出來，說明老師也進(jìn)行了深入的研究，只有如此，才能有效地輔導(dǎo)學(xué)生，才能對學(xué)生的研究成果了如指掌，使展示交流活動效率高，而且，老師展示自己的研究結(jié)論也能開闊學(xué)生的視野，提升研究的水平，給學(xué)生作出榜樣，起著激勵的作用?！克摹⒄n后研究及成果展示交流各小組在課后，利用課余時間繼續(xù)研究，但隨著牛奶盒數(shù)量的不斷增加，打包的方式也在不斷增加，其難度就不斷增大，以致于擺放重復(fù)多次而進(jìn)行不下去，我就告訴他們，既然往后的擺法那么多，不方便每一種不重不漏地都擺出來，那我們能不能不擺？學(xué)生說不擺又怎么能數(shù)出有多少種呢？我說能，你前面不是擺了很多了嗎，有沒有什么規(guī)律。在我的啟發(fā)下，他們各自根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成了核實(shí)表格的任務(wù)。第二小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)“凡是盒數(shù)是質(zhì)數(shù)的包裝方式都只有3種。超過一盒的組合包裝，其包裝方式的種數(shù)都是3的倍數(shù)”，這在24盒之內(nèi)只有一種情況是特殊的，那就是奶盒的個數(shù)是8個，其打包種數(shù)是10種，而不是9種，特殊現(xiàn)象的背后一定隱藏著特殊原因。課后，我們就對這一特殊情況進(jìn)行了重點(diǎn)研究，將每一種打包方式都實(shí)際擺出來，反復(fù)對比，找到了原因。

14各研究小組根據(jù)課上大家的討論交流，在課下完善了各自的方案，寫出了很好的研究報(bào)告，張貼到班內(nèi)的學(xué)習(xí)園地，我又組織了研究小組之外的同學(xué)，對他們的研究報(bào)告進(jìn)行了評比，進(jìn)行建議性的點(diǎn)評和誠懇的表揚(yáng)。其中有兩篇研究報(bào)告，在全市小學(xué)生數(shù)學(xué)小課題研究成果評選中獲一等獎。研究小組成員頗為自豪，有了成就感，增強(qiáng)了信心，這也帶動了其它同學(xué)參與的熱情。同學(xué)們還給蒙牛、伊利、利樂三家大公司寫出了言詞誠懇的倡議書。尊敬的牛總：您好。我是日照市實(shí)驗(yàn)學(xué)校六年級一班的一名學(xué)生。我知道您一定很忙，但還是迫切希望您能在百忙之中讀完這封信。最近，我們學(xué)校開展了數(shù)學(xué)小課研究活動，主要就是探索生活中的數(shù)學(xué)問題。貴廠生產(chǎn)的24盒裝牛奶的包裝，也成了我們研究的一個小課題。通過我們的研究發(fā)現(xiàn)：貴廠的打包方法并不是最節(jié)省材料的。通過我們的測量，貴廠目前包裝牛奶的箱長為33厘米，寬19.5厘米，高10.5厘米。計(jì)算得出表面積為2389.5平方厘米。通過我們的簡單改組，即采取分二層包裝的方式，此時箱長19.5厘米，寬16.5厘米，高21.5厘米，計(jì)算出表面積是2191.5平方厘米。相差198平方厘米！198平方厘米，這是一箱就能節(jié)省的??！我們知道蒙牛集團(tuán)是一家大公司，你們每年生產(chǎn)多少箱奶，您肯定比我們更了解，乘起來又是多么龐大的一個數(shù)字！

15尊敬的?？?，地球的好多的資源正逐漸枯竭，節(jié)省資源迫在眉睫。請采用我們的包裝方案吧！這樣包裝不但同樣美觀，同樣結(jié)實(shí)，而且做到了節(jié)省！在這里，我代表六、一班全體師生，向您提出這個建議，希望您能夠采納，為建設(shè)節(jié)約、環(huán)保型社會，做企業(yè)的好榜樣！謝謝！祝您身體健康，祝蒙牛蒸蒸日上。六、一班全體師生2009年3月8日五、教學(xué)反思

16在剛剛布置給學(xué)生這一研究任務(wù)時，他們覺得受到了一定的挑戰(zhàn)，興趣盎然、斗志昂仰。在研究問題的幾天里，他們時常圍在我身邊，提出各種方案，從他們一閃一閃的眼光中，我看到了他們的智慧，也深深體味到，這種方式正在激發(fā)他們內(nèi)心深處的一種東西，正是這種東西，會使他們的思維能力得到不斷發(fā)展，這令我感到興奮和欣慰，同時體會到了這一研究課題的重要和必要。他們起初研究的并不順利，沒有找到合適的解決方案，可是，他們幾個人的那種堅(jiān)韌，讓我為之感動，反反復(fù)復(fù)、反反復(fù)復(fù)的探究、匯報(bào)，我想那種精神不正是做研究所需要的嗎？課后，研究小組的同學(xué)根據(jù)自己的研究情況，寫出了很真實(shí)的研究報(bào)告，還有好多同學(xué)們給利樂、蒙牛、伊利三家大公司，寄去了感人至深、有理有據(jù)的建議書。同學(xué)們不但在課題研究上積極主動，而且對我更加親近，這讓我看到了更大的希望，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)小課題研究的價(jià)值所在?！究傇u：新課程改革給我們帶來了什么？通過本節(jié)課學(xué)生的表現(xiàn)，我們欣喜地發(fā)現(xiàn)，新課程所倡導(dǎo)的自主合作探究，大眾數(shù)學(xué)，生活數(shù)學(xué)，關(guān)注過程方法，情感態(tài)度與價(jià)值觀，樹立大數(shù)學(xué)觀，不同的人有不同的發(fā)展，在本節(jié)課中都得到了很好的體現(xiàn)。縱觀整堂課，有以下幾點(diǎn)值得肯定：1．課題選取巧妙精準(zhǔn)，有研究價(jià)值。牛奶盒的包裝問題，是一個小小的生活現(xiàn)象，其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想竟有如此之多！學(xué)生研究方法靈巧，研究成果豐富，其收獲絕不限于課堂表現(xiàn)出來的這些知識。2．課堂上充滿了生動活潑、富有挑戰(zhàn)性的研究氛圍。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程應(yīng)該經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、模擬、推斷等探索性與挑戰(zhàn)性的活動。課堂上，學(xué)生大膽地陳述，相互質(zhì)疑，敢于挑戰(zhàn)的氣氛熱烈。學(xué)生的研究成果之多，表達(dá)之精彩，思維之靈敏，邏輯之嚴(yán)密，超乎一般人的想象。3．學(xué)生的創(chuàng)新意識強(qiáng)烈、思維發(fā)散、且富有個性。例如，有的小組用了演示法，有的運(yùn)用數(shù)據(jù)計(jì)算法，有的運(yùn)用邏輯推理法等，無不閃耀著學(xué)生的聰明才智4

17．學(xué)生的自覺交流，大膽質(zhì)疑已成習(xí)慣。課堂教學(xué)是互動進(jìn)行的，學(xué)生既可以展示自己的成果，也可以對別人的方案提出質(zhì)疑，小組間展開爭論。學(xué)生在展示自己的方案后，也在找對方的缺陷，而且振振有詞，有理有據(jù)。這一過程不但發(fā)展了學(xué)生的思維能力，而且也培養(yǎng)了學(xué)生語言表達(dá)能力和良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。5．密切了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。數(shù)學(xué)從生活中來，又回到生活中去。對“牛奶盒的包裝”問題研究之后，教師要求每個小組都寫出研究報(bào)告，遞給廠商并與之商討，既讓學(xué)生品味到研究的快樂，又體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。6．?dāng)?shù)學(xué)建模效果好，數(shù)學(xué)思想得到有效滲透。學(xué)生能從具體的“牛奶盒”問題抽象轉(zhuǎn)化為長方體的表面積問題，完成數(shù)學(xué)模型的建立。有的學(xué)生用小正方體的擺放來研究包裝問題，滲透了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；有的小組根據(jù)周長一定，正方形面積最大的經(jīng)驗(yàn)，想到容積一定，正方體表面積可能最小，運(yùn)用遷移思想等。這些都有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?/p>