四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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嘉陵一中高2022級高二上期第一次月考數(shù)學(xué)試題考試時間:120分鐘滿分:150分一、單選題(共8小題,每小題5分,共40分)1.若一個圓錐的軸截面是面積為9的等腰直角三角形,則這個圓錐的底面半徑為()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)底面半徑為r,利用軸截面的面積列方程求出r的值.【詳解】設(shè)底面半徑為r.因為軸截面是等腰直角三角形,所以圓錐的高也是r.據(jù)題意得,解得.故選:C2.已知平面α的一個法向量是,,則下列向量可作為平面β的一個法向量的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】兩個平面平行,其法向量也平行,即可判斷各選項.【詳解】平面α的一個法向量是,,設(shè)平面的法向量為,則,對比四個選項可知,只有D符合要求,故選:D.【點睛】本題考查了平面法向量的性質(zhì),兩個平面法向量的關(guān)系,空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3.若直線不平行于平面,且,則下列說法正確的是()A.內(nèi)存在一條直線與平行B.內(nèi)不存在與平行直線C.內(nèi)所有直線與異面D.內(nèi)所有直線與相交 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系逐一分析即可.【詳解】若內(nèi)存在一條直線與平行,則由和線面平行判定定理可知,與已知矛盾,故內(nèi)不存在直線與平行,A錯誤,B正確;記,當(dāng)內(nèi)直線a過點A,則與a相交,C錯誤;當(dāng)內(nèi)直線b不過點A,則與b異面,D錯誤.故選:B4.水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形,如圖所示.其中,則原平面圖形的面積為(????)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的圖形性質(zhì)可得原圖形的形狀,進而可得面積.【詳解】由直角梯形中,且,作于,則四邊形為正方形,為等腰直角三角形,故,.?? 故原圖為直角梯形,且上底,高,下底.其面積為.??故選:C5.已知是直線,、是兩個不同平面,下列命題中是真命題的是()A.若,,則B.若,,則C.若,,則D.若,,則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)及面面位置關(guān)系判斷A,由線面平行的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)判斷B,由線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì),結(jié)合面面垂直的判定定理判斷C,由線面平行的性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A,若,,則或,錯誤;對于B,若,,則或或與相交(含),錯誤;對于C,若且,則存在過的平面,有,于是,所以,正確;對于D,若,,則或,錯誤.故選:C.6.,,若,則實數(shù)值為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】,又, ,解得.故選:A.7.已知向量為平面α的一個法向量,為一條直線l的方向向量,則∥是l⊥α的( ?。〢.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意及充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】向量為平面α的一個法向量,為一條直線l的方向向量,若∥,則向量為平面α的一個法向量,l⊥α,充分性成立;若l⊥α,則向量為平面α的一個法向量,∥,必要性成立,則∥是l⊥α的充要條件.故選:C.8.如圖所示,一個棱長為的正四面體,沿棱的四等分點作平行于底面的截面,截去四個全等的棱長為的正四面體,得到截角四面體,則該截角四面體的體積為()A.4B.C.5D.【答案】D【解析】【分析】先計算出棱長為的正四面體的體積,然后計算出棱長為的正四面體的體積,由此可求截角四面體的體積.【詳解】如圖所示正四面體的棱長為,所以,所以, 所以此正四面體的體積為,同理可計算出棱長為的正四面體的體積為,所以截角四面體的體積為:,故選:D.二、多選題(共4小題,每小題5分,共20分,全對得5分,部分選對得2分,選錯得0分)9.下列關(guān)于空間向量的命題中,正確的有()A.若向量,與空間任意向量都不能構(gòu)成基底,則∥;B.若非零向量,,滿足,,則有∥;C.若,,是空間的一組基底,且,則,,,四點共面;D.若,,是空間的一組基底,則向量,,也是空間一組基底;【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理,能作為基底的向量一定是不共面的向量,由此分別分析判斷即可【詳解】對于A,若向量,與空間任意向量都不能構(gòu)成基底,則可得向量,是共線向量,即∥,所以A正確,對于B,若非零向量,,滿足,,則向量與不能確定,可能平行,所以B錯誤,對于C,若,,是空間的一組基底,且,則由空間向量基本定理可得,,,四點共面,所以C正確, 對于D,因為,,是空間的一組基底,所以對于空間中的任意一個向量,存在唯一的實數(shù)組,使,所以向量,,也是空間一組基底,所以D正確,故選:ACD10.如圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列命題中,正確的有()A.平面B.平面C.平面平面D.平面平面【答案】CD【解析】【分析】將展開圖還原為立體圖,即可根據(jù)線面關(guān)系,結(jié)合線面平行以及面面平行的判斷求解.【詳解】展開圖可以折成如圖①所示的正方體.在正方體中,連接,如圖②所示.易知與平面有公共點與平面有公共點,所以AB錯誤; 如圖③所示,連接,由于平面,平面,所以平面,同理可得平面,平面,則平面平面,同理可證平面平面,所以CD正確.故選:CD11.如果一個凸n面體共有m個面是直角三角形,那么我們稱這個凸n面體的直度為,則()A.三棱錐的直度的最大值為1B.直度為的三棱錐只有一種C.四棱錐的直度的最大值為1D.四棱錐的直度的最大值為【答案】AD【解析】【分析】借助于正方體模型,一一判斷各選項,即得答案.【詳解】如圖,借助于正方體模型,圖1中三棱錐的四個面都是直角三角形,其直度為1,A正確;圖1中三棱錐,三個面都直角三角形,面為正三角形,其直度為; 圖2中三棱錐,三個面都是直角三角形,面為正三角形,其直度為,故直度為的三棱錐不止一種,B錯誤;四棱錐的共有5個面,底面為四邊形,故其直度不可能為1,C錯誤;圖3中的四棱錐的四個側(cè)面都是直角三角形,底面為正方形,故四棱錐的直度的最大值為,D正確,故選:AD12.正方體中,,點在線段上運動,點在線段上運動,則下列說法中正確的有()A.三棱錐的體積為定值B.線段長度的最小值為2C.當(dāng)為的中點時,三棱錐的外接球表面積為D.平面截該正方體所得截面可能為三角形?四邊形?五邊形【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定可得A的正誤,根據(jù)兩個動點的特征可判斷B的正誤,可證明的中點即為三棱錐的外接球的球心,從而可判斷C的正誤,作出平面與正方體的截面,從而可判斷D的正誤.【詳解】 如圖,由正方體可得故四邊形為平行四邊形,故,而平面,平面,故平面,∴上任一點到平面距離為定值,即到平面距離為定值,而面積為定值,∴故為定值,A對.,B對.∵底面為等腰直角三角形,且邊長為2,∴外接圓半徑為,∵三棱錐的高為,如圖,取的中點為,連接,則,故,故為三棱錐的外接球的球心,且半徑為,故表面積為,故C不對.如下圖所示:平面截該正方體所得截面可能為三角形?四邊形,不可能為五邊形,故D錯.故選:AB.三、填空題(共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量,,且,那么等于_________【答案】-4 【解析】分析】根據(jù)向量平行,可求出,即可求解.【詳解】,即,解得,.【點睛】本題主要考查了向量平行及向量的坐標(biāo)運算,屬于中檔題.14.下圖,M是三棱錐的底面的重心.若,則______.【答案】1【解析】【分析】方法一:根據(jù)三角形重心的性質(zhì)結(jié)合空間向量基本定理求解即可,方法二:利用空間向量共面定理的推論求解.【詳解】方法一:由于M是三棱錐的底面的重心,連接AM,所以,則,所以.方法二:因為M與A,B,C四點共面,所以.故答案為:1 15.已知三棱錐中,平面BCD,,,,則三棱錐的外接球的表面積為_____.【答案】【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面,再由性質(zhì)定理得,取的中點E,可得,三棱錐的外接球的球心即為點,求出,再求球的表面積可得答案.【詳解】因為平面BCD,平面,所以,因為,,所以,即,因為,平面,所以平面,因為平面,所以,取的中點,連接,可得,所以三棱錐外接球的球心即為點,外接球的半徑為,由得,則三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.16.如圖,在棱長為4的正方體中,是的中點,點是側(cè)面上的動點.且平面,則線段長度的取值范圍是________. 【答案】【解析】【分析】取的中點,的中點,的中點,連接、、、,根據(jù)正方體的性質(zhì)得到,即可得到平面,同理可證平面,從而證明平面平面,即可得到在線段上,再求出、,即可求出的取值范圍.【詳解】解:如圖,取的中點,的中點,的中點,連接、、、,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得,平面,平面,所以平面,同理可證平面,,平面,所以平面平面,又平面平面,且平面,平面,點是側(cè)面上的動點,所以在線段上,又,所以,,,所以,則,所以線段長度的取值范圍是. 故答案為:四、解答題(共6小題,17小題10分,其余各小題12分,共70分)17.已知圓錐的軸截面是一個底邊長為8,腰長為5的等腰三角形,求:(1)圓錐的表面積;(2)圓錐的體積.【答案】(1);(2).【解析】【分析】根據(jù)題意,求得圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,結(jié)合圓錐的表面積和體積公式,即可求解.【小問1詳解】依題意,如圖所示,可得,,設(shè)圓錐的底面半徑為,高為,母線長為,則,可得,所以該圓錐的表面積為,【小問2詳解】圓錐的體積為.18.如圖,在直三棱柱中,,點D是AB的中點.求證: (1);(2)平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)空間向量法證明兩個向量垂直.(2)利用空間向量法結(jié)合線面平行的判定定理得出結(jié)果.【小問1詳解】∵直三棱柱ABCA1B1C1,,因為,所以.∴兩兩垂直.如圖,以C為坐標(biāo)原點,直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,.【小問2詳解】設(shè)與的交點為E,則. ,,.平面.平面,∴平面.19.如圖,在四棱錐中,//平面PAD,,,,點N是AD的中點.求證:(1)//;(2)求異面直線PA與NC所成角余弦值.【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明;(2)由線線平行,以及異面直線所成角的定義即可求解平面角,由余弦定理即可求解.【小問1詳解】在四棱錐P﹣ABCD中,BC∥平面PAD,BC?平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,∴BC∥AD,【小問2詳解】由于點N是AD的中點,BC∥AD,,所以,故四邊形為平行四邊形,則,故或其補角即為異面直線PA與NC所成角, 在中,,故異面直線PA與NC所成角的余弦值為20.如圖所示,在三棱錐中,,.(1)求二面角的余弦值;(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用二面角得定義即可求出結(jié)果;(2)根據(jù),再利用三棱錐體積公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點,連結(jié),,∵,,∴,,∴為二面角的平面角,在中,,,∴, ∴二面角的余弦值為.【小問2詳解】由(1)得,,,平面,平面,∴平面∵,∴.21.如圖,在正方體中,點E?F分別為棱?的中點,點P為底面對角線AC與BD的交點,點Q是棱上一動點.(1)證明:直線∥平面;(2)證明:.【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【解析】【分析】(1)建系,利用空間向量可得∥,再結(jié)合線面平行的判定定理分析證明;(2)由空間向量的坐標(biāo)運算可得,進而可得結(jié)果.【小問1詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點,分別為軸所在的直線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,可得,可知, 則∥,且平面,平面,所以∥平面.【小問2詳解】設(shè),則,可得,由(1)可知:,因為,所以.22.用文具盒中的兩塊直角三角板(直角三角形和直角三角形)繞著公共斜邊翻折成二面角,如圖和,,,,,將翻折到,使,為邊上的點,且.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判斷定理,轉(zhuǎn)化為證明平面;(2)首先證明平面,再以的中點建立空間直角坐標(biāo)系,并求平面的法向量,代入線面角的向量公式,即可求解.【小問1詳解】 由已知,又三角形為等腰直角三角形,,又,所以,,又,平面∴平面,又平面,∴平面平面.【小問2詳解】取BC中點F,連接,中,,,,所以,則,,中,,根據(jù)余弦定理可知,,所以,即,由(1)可知,平面平面.,且平面平面,且平面,所以平面中,,,,根據(jù)余弦定理可知,中,,所以,以分別為軸的正方向,過點作軸,軸平行于,建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,故,,,設(shè)平面的法向量,則,則,令,則,即,設(shè)直線與平面所成角為,,則所以直線與平面所成角的為.

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