浙江省杭州外國語學校2022-2023學年高一上學期期中數(shù)學 Word版含解析.docx

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2022學年杭外高一上期中考試數(shù)學試卷1.若，，，則M中元素的個數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，結合已知集合，即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意，，故中元素的個數(shù)為.故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法解，結合充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】由，可得或，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.已知，則（）A.1B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】令，代入求值即可.【詳解】令，則.故選：D4.下列坐標所表示的點不是函數(shù)的圖像的對稱中心的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出對稱點橫坐標的表達式，改變系數(shù)的值即可得出對稱中心.【詳解】解：由題意在中，令，解得，當時，，∴函數(shù)的一個對稱中心是，A正確.當時，，∴函數(shù)的一個對稱中心是，D正確.當時，，∴函數(shù)的一個對稱中心是，C正確.故選：B.5.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.【答案】A【解析】 【分析】由題意得到關于的等式，結合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.6.已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】所求的分母特征，利用變形構造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.7.兩個函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出下列四個函數(shù)： f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，則是“同形”函數(shù)的是(　　)A.f2(x)與f4(x)B.f1(x)與f3(x)C.f1(x)與f4(x)D.f3(x)與f4(x)【答案】A【解析】【分析】先化簡f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，函數(shù)f2(x)＝log2(x＋2)經(jīng)過平移變換后可以得到f4(x)，所以它們是“同形”函數(shù).【詳解】因為f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿著x軸先向右平移2個單位得到y(tǒng)＝log2x的圖像，然后再沿著y軸向上平移1個單位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根據(jù)“同形”函數(shù)的定義，f2(x)與f4(x)為“同形”函數(shù)．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|與f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故答案為A.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的變換和新定義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8.已知函數(shù)，若的圖像的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，，且，解之討論，可得選項.【詳解】解：因為的圖像的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間，所以，所以，故排除C； 又，且，解得，當時，不滿足，當時，符合題意，當時，符合題意，當時，不滿足，故B正確，AD不正確，故選：B9.函數(shù)，的圖像與直線（為常數(shù)）的交點可能有（）A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】ABC【解析】【分析】作出函數(shù)，的圖像與直線圖像，數(shù)形結合求解即可.【詳解】解：作出函數(shù)，的圖像與直線圖像，如圖，所以，當或時，，的圖像與直線（為常數(shù)）的交點個數(shù)為0個；當或時，，的圖像與直線（為常數(shù)）的交點個數(shù)為1個；當時，，的圖像與直線（為常數(shù)）的交點個數(shù)為2個； 故函數(shù)，的圖像與直線（為常數(shù)）的交點可能有1個，2個，3個.故選：ABC10.【多選題】設α是第二象限角，下列各式中可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】，，由三角函數(shù)的周期性，不妨設或，結合三角函數(shù)的單調性逐個判斷即可.【詳解】，，則，由三角函數(shù)的周期性，不妨設或.對A，當，成立，當，，A對；對B，當，，又，B對；對C，當，，當，，C錯；對D，當，，D對.故選：ABD11.關于函數(shù)由以下四個命題，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于y軸對稱 B.的圖象關于原點對稱C.的圖象關于對稱D.的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】由函數(shù)解析式，根據(jù)奇偶性的定義，可得A、B的正誤；根據(jù)函數(shù)對稱性，可得C的正誤；根據(jù)余弦函數(shù)的性質，可得D的正誤.【詳解】由函數(shù)，其定義域為，且，故函數(shù)偶函數(shù)，故A正確，B錯誤；由，則函數(shù)關于對稱，故C正確；當時，，則，故D錯誤.故選：AC.12.定義在上的函數(shù)，下列說法中正確的為（）A.函數(shù)的值域為B.當時，函數(shù)所有值中的最大值為4C.函數(shù)在上單調遞減D【答案】ABD【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，判斷出AB選項； 結合函數(shù)性質得到在上單調遞增，在上單調遞減，C錯誤；由函數(shù)性質得到，計算出，從而得到答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：從圖象可以得到函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)所有值中的最大值為4，AB正確；因為，當時，，當時，，由圖象可知：上，函數(shù)單調遞增，時，，函數(shù)單調遞減，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故C錯誤；，因為，所以，故，D正確.故選：ABD13.用弧度制表示終邊落在軸上的角的集合：_________________________【答案】【解析】【分析】根據(jù)終邊相同角的知識，寫出終邊落在軸上的角的集合.【詳解】終邊落在軸正半軸的角為，終邊落在軸負半軸的角為，所以終邊落在軸上的角的集合為. 故答案為：.14.若函數(shù)的值域是，則_____________．【答案】2【解析】【分析】通過換元，利用余弦函數(shù)的有界性，轉化為二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域，結合單調性解決即可.【詳解】令，則，，根據(jù)二次函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，所以，，所以值域為，則.故答案為：215.已知是第三角限角，化簡__________;【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關系式和象限角的符號，準確運算，即可求解.【詳解】因為是第三角限角，可得又因為且，所以原式.故答案為：.16.設是定義在上的奇函數(shù)，當時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的最大值是________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調性可將問題轉化為對恒成立，分離參數(shù)可得對恒成立，求的最小值，解不等式即可求解. 【詳解】令，則，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，易知在上單調遞減.所以，，所以，所以對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，所以，當時，有最小值，故，得.所以的最大值為.故答案為：17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將原式變形為，然后根據(jù)齊次式進行計算即可；（2）首先通過誘導公式進行化簡整理，然后根據(jù)齊次式進行計算即可；【小問1詳解】由，得， 分子分母同除得：.【小問2詳解】，分子分母同除得：.18.已知函數(shù)，（，），最小正周期為，當時，函數(shù)取到最大值．（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由題意利用三角函數(shù)的周期性和最大值求得值，從而求得解析式，再利用正弦函數(shù)的單調性即可求解；(2)利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值的等量關系，解方程組從而求得值.【小問1詳解】因為函數(shù)，（，），最小正周期為，所以,則， 當時，函數(shù)取到最大值為1，即，；所以，函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為：.【小問2詳解】函數(shù),();,則，當，即時，在區(qū)間上取得最小值為1，即；當，即時，在區(qū)間上取得最大值為3，即；，解得.19.如果存在實數(shù)，使得，那么就稱函數(shù)為“不動點”函數(shù)．（1）判斷函數(shù)是否為“不動點”函數(shù)，并說明理由；（2）已知函數(shù)為“不動點”函數(shù)．①求a的取值范圍； ②已知函數(shù)的定義域為，求的最小值．【答案】（1）是，理由見解析（2）①；②見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“不動點”函數(shù)的定義判斷即可；（2）①根據(jù)“不動點”函數(shù)的定義，分類討論a得到關于的方程，得到關于的不等式組，解出即可；②在①中a的取值范圍內分類討論a，根據(jù)二次函數(shù)的單調性，即可求出的最小值.【小問1詳解】解：是，理由如下：當時，若，得，則是“不動點”函數(shù).【小問2詳解】①當時，，解得符合題意，當時，，即，所以，解得且，綜上所述，的取值范圍為；②的定義域為，對稱軸為，當時，在上單調遞增，；當時，；當時，在上單調遞減，；20已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}= （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍；（Ⅱ）（?。┣驠（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（?。áⅲ窘馕觥俊驹斀狻吭囶}分析：（Ⅰ）分別對和兩種情況討論，進而可得使得等式成立的的取值范圍；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函數(shù)，的最小值，再根據(jù)的定義可得的最小值；（Ⅱ）分別對和兩種情況討論的最大值，進而可得在區(qū)間上的最大值．試題解析：（Ⅰ）由于，故當時，，當時，．所以，使得等式成立的的取值范圍為．（Ⅱ）（ⅰ）設函數(shù)，，則，，所以，由的定義知，即（ⅱ）當時，，當時，．所以，．【考點】函數(shù)單調性與最值，分段函數(shù)，不等式．【思路點睛】（Ⅰ）根據(jù)的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的 的取值范圍；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（Ⅱ）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進而可得．